1 вариант 1. В трапеции ABCD с основаниями ВС и AD проведены диагонали BD и АС, которые пересекаются в точке О, причем ВС = 3,6 см, ВО = 2,3 см, DO = 12 см. Найти AD. 2. На сторонах АС и АМ треугольника МСА взяли соответственно точки Е и D так, что ED || МС, причем МС = 4,5 см, DE = 1,5 см, СЕ = 4,2 см. Найти АС.

1 вариант

1. Рассмотрим треугольники BOC и AOD. Так как BC и AD основания трапеции, то BC || AD. Значит, углы BOC и AOD равны как вертикальные, углы CBO и ADO равны как накрест лежащие при параллельных прямых BC и AD и секущей BD. Следовательно, треугольники BOC и AOD подобны по двум углам.

Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон:

$$\frac{BC}{AD} = \frac{BO}{DO}$$

Подставим известные значения:

$$\frac{3.6}{AD} = \frac{2.3}{12}$$

Выразим AD:

$$AD = \frac{3.6 \cdot 12}{2.3} = \frac{43.2}{2.3} \approx 18.78 \text{ см}$$

2. Рассмотрим треугольники AED и AMC. Так как ED || MC, то углы AED и AMC равны как соответственные. Угол А - общий. Следовательно, треугольники AED и AMC подобны по двум углам.

Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон:

$$\frac{AE}{AC} = \frac{DE}{MC}$$

Пусть АС = x, тогда АЕ = АС - СЕ = x - 4.2

Подставим известные значения:

$$\frac{x - 4.2}{x} = \frac{1.5}{4.5}$$

Упростим правую часть:

$$\frac{x - 4.2}{x} = \frac{1}{3}$$

Решим пропорцию:

$$3(x - 4.2) = x$$ $$3x - 12.6 = x$$ $$2x = 12.6$$ $$x = 6.3 \text{ см}$$

Ответ: 1. AD ≈ 18.78 см; 2. АС = 6.3 см.