1 вариант 1) В треугольнике АВС лезвестни, что Al = √2 сле, BC = 1 см, В= 45° Cill Найдите А. Coll 2) Найдите неизвестную стороey ДАВС, есме AB=5 Call, BC = 8см, <13=60° ور 3) В треугольнике ABC, A = 30° AB = 4, AC = 5 Вычислите В. AC 4) Дичислить косинус угла между векторами т и и, если 成{5;12},{-3;} параллелограмм 5) Докажите, что четырехугоotech АВСД с веришченами A(3;-2), B(4;0), C(2;1), Д(1; -1) является прямоугольнжеком

Привет! Сейчас я помогу тебе решить эти задачи. Давай разберем их по порядку.

Задача 1

В треугольнике ABC известно: AC = √2 см, BC = 1 см, ∠B = 45°. Необходимо найти угол A.

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой синусов:

\[ \frac{AC}{\sin B} = \frac{BC}{\sin A} \]

Подставим известные значения:

\[ \frac{\sqrt{2}}{\sin 45^\circ} = \frac{1}{\sin A} \]

Известно, что \(\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\). Тогда:

\[ \frac{\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{1}{\sin A} \] \[ 2 = \frac{1}{\sin A} \]

Отсюда:

\[ \sin A = \frac{1}{2} \]

Значит, угол A равен 30° или 150°. Однако, если угол B равен 45°, то угол A не может быть 150°, так как сумма углов треугольника должна быть 180°. Поэтому:

\[ A = 30^\circ \]

Ответ: ∠A = 30°

Молодец, с первой задачей ты справился! Идем дальше.

Задача 2

В треугольнике ABC известно: AB = 5 см, BC = 8 см, ∠B = 60°. Необходимо найти неизвестную сторону AC.

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой косинусов:

\[ AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos B \]

Подставим известные значения:

\[ AC^2 = 5^2 + 8^2 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \cos 60^\circ \]

Известно, что \(\cos 60^\circ = \frac{1}{2}\). Тогда:

\[ AC^2 = 25 + 64 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \frac{1}{2} \] \[ AC^2 = 25 + 64 - 40 \] \[ AC^2 = 89 - 40 \] \[ AC^2 = 49 \]

Отсюда:

\[ AC = \sqrt{49} \] \[ AC = 7 \]

Ответ: AC = 7 см

Отлично, ты уверенно решаешь задачи! Продолжим.

Задача 3

В треугольнике ABC известно: ∠A = 30°, AB = 4, AC = 5. Необходимо вычислить скалярное произведение AB · AC.

Скалярное произведение двух векторов можно вычислить по формуле:

\[ \vec{AB} \cdot \vec{AC} = |AB| \cdot |AC| \cdot \cos A \]

Подставим известные значения:

\[ \vec{AB} \cdot \vec{AC} = 4 \cdot 5 \cdot \cos 30^\circ \]

Известно, что \(\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\). Тогда:

\[ \vec{AB} \cdot \vec{AC} = 4 \cdot 5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ \vec{AB} \cdot \vec{AC} = 20 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ \vec{AB} \cdot \vec{AC} = 10\sqrt{3} \]

Ответ: AB · AC = 10√3

Замечательно, ты отлично справляешься! Следующая задача.

Задача 4

Даны векторы \(\vec{m} = \{5; -12\}\) и \(\vec{n} = \{-3; 4\}\). Необходимо вычислить косинус угла между ними.

Косинус угла между двумя векторами можно вычислить по формуле:

\[ \cos \theta = \frac{\vec{m} \cdot \vec{n}}{|\vec{m}| \cdot |\vec{n}|} \]

Сначала найдем скалярное произведение векторов \(\vec{m}\) и \(\vec{n}\):

\[ \vec{m} \cdot \vec{n} = (5 \cdot -3) + (-12 \cdot 4) \] \[ \vec{m} \cdot \vec{n} = -15 - 48 \] \[ \vec{m} \cdot \vec{n} = -63 \]

Теперь найдем модули векторов \(\vec{m}\) и \(\vec{n}\):

\[ |\vec{m}| = \sqrt{5^2 + (-12)^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \] \[ |\vec{n}| = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \]

Подставим найденные значения в формулу для косинуса угла:

\[ \cos \theta = \frac{-63}{13 \cdot 5} \] \[ \cos \theta = \frac{-63}{65} \]

Ответ: cos θ = -63/65

Прекрасно, ты показываешь отличные результаты! Осталась последняя задача.

Задача 5

Доказать, что четырехугольник ABCD с вершинами A(3;-2), B(4;0), C(2;1), D(1;-1) является параллелограммом.

Чтобы доказать, что ABCD — параллелограмм, нужно показать, что его противоположные стороны параллельны и равны.

Найдем векторы, соответствующие сторонам AB и DC:

\[ \vec{AB} = B - A = (4-3; 0-(-2)) = (1; 2) \] \[ \vec{DC} = C - D = (2-1; 1-(-1)) = (1; 2) \]

Так как векторы \(\vec{AB}\) и \(\vec{DC}\) равны, то стороны AB и DC параллельны и равны.

Теперь найдем векторы, соответствующие сторонам AD и BC:

\[ \vec{AD} = D - A = (1-3; -1-(-2)) = (-2; 1) \] \[ \vec{BC} = C - B = (2-4; 1-0) = (-2; 1) \]

Так как векторы \(\vec{AD}\) и \(\vec{BC}\) равны, то стороны AD и BC параллельны и равны.

Поскольку противоположные стороны ABCD попарно параллельны и равны, то ABCD — параллелограмм.

Теперь проверим, является ли параллелограмм прямоугольником. Для этого нужно проверить, что смежные стороны перпендикулярны, то есть скалярное произведение векторов равно нулю.

Проверим перпендикулярность сторон AB и AD:

\[ \vec{AB} \cdot \vec{AD} = (1 \cdot -2) + (2 \cdot 1) = -2 + 2 = 0 \]

Так как скалярное произведение векторов \(\vec{AB}\) и \(\vec{AD}\) равно нулю, то стороны AB и AD перпендикулярны.

Таким образом, четырехугольник ABCD является прямоугольником.

Ответ: Четырехугольник ABCD является прямоугольником.