2 вариант. 1. В ящике лежит 8 красных и 6 синих шаров. Из него один за другим вынимают 3 шар. С какой вероятностью третий шар будет красным? (дерево вероятностей) 2. Две фабрики выпускают одинаковые фары для автомобилей. Первая выпускает 70% всех фар, вторая - 30%. При этом первая фабрика выпускает2% бракованных фар, а вторая 3%. Найдите вероятность того, что случайно купленная в магазине фара окажется бракованной. 3. В штате больницы 8 хирургов и 10 терапевтов. Для участия в конференции нужно выбрать 2 хирурга и 3 терапевта. Сколькими способами можно это сделать? 4. Вычислите а) + A+P3; 6) (A+A): A 5. Раскройте скобки а) (2x−1)5; 6) (2a+3b) 6. Найдите член разложения (х-√2) содержащий х³.

Привет! Разбираемся с задачками из твоего варианта. Сейчас все решим по шагам :)

1. Вероятность вытащить красный шар

Всего шаров: 8 красных + 6 синих = 14 шаров.

Рассмотрим возможные варианты, когда третий шар красный:

• Красный, красный, красный (ККК):
• Вероятность первого красного: 8/14
• Вероятность второго красного: 7/13
• Вероятность третьего красного: 6/12
• Общая вероятность: (8/14) * (7/13) * (6/12) = 336/2184
• Красный, синий, красный (КСК):
• Вероятность первого красного: 8/14
• Вероятность первого синего: 6/13
• Вероятность второго красного: 7/12
• Общая вероятность: (8/14) * (6/13) * (7/12) = 336/2184
• Синий, красный, красный (СКК):
• Вероятность первого синего: 6/14
• Вероятность первого красного: 8/13
• Вероятность второго красного: 7/12
• Общая вероятность: (6/14) * (8/13) * (7/12) = 336/2184
• Синий, синий, красный (ССК):
• Вероятность первого синего: 6/14
• Вероятность второго синего: 5/13
• Вероятность третьего красного: 8/12
• Общая вероятность: (6/14) * (5/13) * (8/12) = 240/2184

Суммируем вероятности всех благоприятных исходов:

P(третий красный) = (336/2184) + (336/2184) + (336/2184) + (240/2184) = (336 + 336 + 336 + 240) / 2184 = 1248/2184

Сокращаем дробь: 1248/2184 = 52/91 = 4/7

Ответ: Вероятность, что третий шар будет красным, равна 4/7.

2. Вероятность бракованной фары

Определим события:

• A: фара бракованная
• B1: фара произведена на первой фабрике (70% или 0.7)
• B2: фара произведена на второй фабрике (30% или 0.3)

Известны вероятности:

• P(B1) = 0.7
• P(B2) = 0.3
• P(A|B1) = 0.02 (вероятность брака на первой фабрике)
• P(A|B2) = 0.03 (вероятность брака на второй фабрике)

Используем формулу полной вероятности:

P(A) = P(A|B1) * P(B1) + P(A|B2) * P(B2)

P(A) = (0.02 * 0.7) + (0.03 * 0.3) = 0.014 + 0.009 = 0.023

Ответ: Вероятность, что случайно купленная фара окажется бракованной, равна 0.023 или 2.3%.

3. Количество способов выбрать хирургов и терапевтов

Нужно выбрать 2 хирурга из 8 и 3 терапевта из 10. Используем сочетания, так как порядок не важен.

Число способов выбрать 2 хирурга из 8:

\[C_8^2 = \frac{8!}{2!(8-2)!} = \frac{8!}{2!6!} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28\]

Число способов выбрать 3 терапевта из 10:

\[C_{10}^3 = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10!}{3!7!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120\]

Общее число способов:

28 * 120 = 3360

Ответ: Выбрать 2 хирурга и 3 терапевта можно 3360 способами.

4. Вычислите:

a) + A+P3

б) (A+A): A

Решение:

a) + A+P3

Начнем с вычисления каждого элемента:

= \(\frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35\)

A = \(\frac{10!}{(10-2)!} = \frac{10!}{8!} = 10 \times 9 = 90\)

P3 = 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6

Сумма:

35 + 90 + 6 = 131

б) (A+A): A

Вычислим каждый элемент:

A = \(\frac{4!}{(4-4)!} = \frac{4!}{0!} = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24\)

A = \(\frac{5!}{(5-3)!} = \frac{5!}{2!} = 5 \times 4 \times 3 = 60\)

A = \(\frac{5!}{(5-2)!} = \frac{5!}{3!} = 5 \times 4 = 20\)

Подставим значения:

(24 + 60) : 20 = 84 : 20 = 4.2

5. Раскройте скобки

а) (2x - 1)⁵

б) (2a + 3b)⁴

Решение:

а) (2x - 1)⁵

Используем бином Ньютона: (a + b)ⁿ = \(\sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k\)

\[(2x - 1)^5 = C_5^0 (2x)^5 (-1)^0 + C_5^1 (2x)^4 (-1)^1 + C_5^2 (2x)^3 (-1)^2 + C_5^3 (2x)^2 (-1)^3 + C_5^4 (2x)^1 (-1)^4 + C_5^5 (2x)^0 (-1)^5\]

Вычислим биномиальные коэффициенты:

• C_5^0 = 1
• C_5^1 = 5
• C_5^2 = 10
• C_5^3 = 10
• C_5^4 = 5
• C_5^5 = 1

Подставим значения:

\[(2x - 1)^5 = 1 \cdot (32x^5) \cdot 1 + 5 \cdot (16x^4) \cdot (-1) + 10 \cdot (8x^3) \cdot 1 + 10 \cdot (4x^2) \cdot (-1) + 5 \cdot (2x) \cdot 1 + 1 \cdot 1 \cdot (-1)\] \[(2x - 1)^5 = 32x^5 - 80x^4 + 80x^3 - 40x^2 + 10x - 1\]

б) (2a + 3b)⁴

Используем бином Ньютона: (a + b)ⁿ = \(\sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k\)

\[(2a + 3b)^4 = C_4^0 (2a)^4 (3b)^0 + C_4^1 (2a)^3 (3b)^1 + C_4^2 (2a)^2 (3b)^2 + C_4^3 (2a)^1 (3b)^3 + C_4^4 (2a)^0 (3b)^4\]

Вычислим биномиальные коэффициенты:

• C_4^0 = 1
• C_4^1 = 4
• C_4^2 = 6
• C_4^3 = 4
• C_4^4 = 1

Подставим значения:

\[(2a + 3b)^4 = 1 \cdot (16a^4) \cdot 1 + 4 \cdot (8a^3) \cdot (3b) + 6 \cdot (4a^2) \cdot (9b^2) + 4 \cdot (2a) \cdot (27b^3) + 1 \cdot 1 \cdot (81b^4)\] \[(2a + 3b)^4 = 16a^4 + 96a^3b + 216a^2b^2 + 216ab^3 + 81b^4\]

6. Найдите член разложения (x - √2)⁷, содержащий x⁵.

Используем формулу общего члена бинома Ньютона:

\[T_{k+1} = C_n^k a^{n-k} b^k\]

В нашем случае: a = x, b = -√2, n = 7, и мы ищем член, содержащий x⁵.

Тогда: n - k = 5, следовательно, k = 7 - 5 = 2.

Подставим значения:

\[T_{2+1} = T_3 = C_7^2 x^{7-2} (-√2)^2\]

Вычислим биномиальный коэффициент:

\[C_7^2 = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7!}{2!5!} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21\]

Тогда:

\[T_3 = 21 \cdot x^5 \cdot (-√2)^2 = 21 \cdot x^5 \cdot 2 = 42x^5\]

Ответ: Член разложения, содержащий x⁵, равен 42x⁵.

Проверка за 10 секунд:

• 1. 4/7
• 2. 0.023
• 3. 3360
• 4. а) 131; б) 4.2
• 5. а) \(32x^5 - 80x^4 + 80x^3 - 40x^2 + 10x - 1\); б) \(16a^4 + 96a^3b + 216a^2b^2 + 216ab^3 + 81b^4\)
• 6. \(42x^5\)

Доп. профит: Редфлаг: Всегда перепроверяй вычисления, особенно при работе с биномом Ньютона и большими числами. Небольшая ошибка может привести к неверному результату.

Ответ:

Умничка, ты хорошо поработал!