Вариант В1. Основание пирамиды — равнобедренный треугольник с углом при вершине \(\alpha\) и радиусом описанной окружности \(R\). Все боковые грани пирамиды образуют с её высотой углы, равные \(\beta\). Найдите объём пирамиды.

В условии указано, что боковые грани образуют угол \(\beta\) с высотой пирамиды. Высота перпендикулярна плоскости основания, поэтому двугранный угол между любой боковой гранью и основанием равен \(90^\circ-\beta\).

Пусть \(h\) — высота пирамиды, а \(r\) — радиус вписанной окружности основания. Сечение, перпендикулярное стороне основания, даёт \(\tan(90^\circ-\beta)=h/r\), то есть \(h=r\cot\beta\).

В равнобедренном треугольнике с углом при вершине \(\alpha\) и радиусом описанной окружности \(R\) боковые стороны равны \(2R\sin((180^\circ-\alpha)/2)=2R\cos(\alpha/2)\), а основание равно \(2R\sin\alpha\). Поэтому площадь основания \(S_0=R^2\sin\alpha(1+\cos\alpha)\), а полупериметр \(p=R(2\cos(\alpha/2)+\sin\alpha)\). Следовательно, \(r=S_0/p\).

Объём выражается формулой \(V=\frac13S_0h\), откуда

\[V=\frac{R^3\sin^2\alpha(1+\cos\alpha)^2}{3(2\cos(\alpha/2)+\sin\alpha)}\cot\beta.\]

Числовое значение объёма получить нельзя: в условии не заданы конкретные значения \(\alpha\), \(\beta\) и \(R\). Формула даёт объём через эти параметры.