Вариант В1 1. Найдите углы равнобедренного треугольника, если градусные меры двух из них относятся как 2:5. Сколько решений имеет задача? 2. В прямоугольном треугольнике сумма двух внешних углов при различных вершинах равна 200°. Найдите острые углы этого треугольника. 3. Определите, является ли прямоугольным треугольник, в котором сумма двух внутренних и одного внешнего угла равна 180°.

Решение:

Вариант В1

1. Нахождение углов равнобедренного треугольника

Пусть углы равнобедренного треугольника равны \( \alpha, \alpha, \beta \).

Случай 1: Отношение углов при основании \( \alpha : \alpha = 2:5 \). Это невозможно, так как углы при основании равны.

Случай 2: Отношение одного из углов при основании к углу при вершине \( \alpha : \beta = 2:5 \).

Пусть \( \alpha = 2x \), \( \beta = 5x \). Сумма углов треугольника равна \( 180° \):

\( 2x + 2x + 5x = 180° \)

\( 9x = 180° \)

\( x = 20° \)

Тогда \( \alpha = 2 × 20° = 40° \), \( \beta = 5 × 20° = 100° \).

Углы треугольника: \( 40°, 40°, 100° \).

Случай 3: Отношение угла при вершине к углу при основании \( \beta : \alpha = 2:5 \).

Пусть \( \beta = 2x \), \( \alpha = 5x \). Сумма углов треугольника равна \( 180° \):

\( 5x + 5x + 2x = 180° \)

\( 12x = 180° \)

\( x = 15° \)

Тогда \( \alpha = 5 × 15° = 75° \), \( \beta = 2 × 15° = 30° \).

Углы треугольника: \( 75°, 75°, 30° \).

Ответ: Задача имеет два решения.

2. Нахождение острых углов прямоугольного треугольника

Пусть острые углы прямоугольного треугольника равны \( \alpha \) и \( \beta \). Внешний угол равен сумме двух других углов.

Случай 1: Сумма двух внешних углов при острых вершинах.

Внешние углы при острых вершинах равны \( 180° - \alpha \) и \( 180° - \beta \).

\( (180° - \alpha) + (180° - \beta) = 200° \)

\( 360° - (\alpha + \beta) = 200° \)

\( \alpha + \beta = 160° \)

В прямоугольном треугольнике \( \alpha + \beta = 90° \). Это противоречие, значит, этот случай невозможен.

Случай 2: Сумма внешнего угла при одной острой вершине и внешнего угла при прямой вершине.

Внешний угол при прямой вершине равен \( 180° - 90° = 90° \).

\( (180° - \alpha) + 90° = 200° \)

\( 270° - \alpha = 200° \)

\( \alpha = 70° \)

Тогда \( \beta = 90° - 70° = 20° \).

Случай 3: Сумма внешнего угла при другой острой вершине и внешнего угла при прямой вершине.

\( (180° - \beta) + 90° = 200° \)

\( 270° - \beta = 200° \)

\( \beta = 70° \)

Тогда \( \alpha = 90° - 70° = 20° \).

Ответ: Острые углы треугольника равны 70° и 20°.

3. Проверка прямоугольности треугольника

Пусть внутренние углы треугольника \( A, B, C \), а внешний угол при вершине \( C \) равен \( C_{внеш.} \).

Дано: \( A + B + C_{внеш.} = 180° \).

Известно, что \( C_{внеш.} = 180° - C \). Подставим это в уравнение:

\( A + B + (180° - C) = 180° \)

\( A + B - C = 0 \)

\( A + B = C \)

Также мы знаем, что сумма внутренних углов треугольника \( A + B + C = 180° \).

Подставим \( C = A + B \) в это уравнение:

\( (A + B) + (A + B) = 180° \)

\( 2(A + B) = 180° \)

\( A + B = 90° \)

Так как \( A + B = 90° \), то \( C = 90° \).

Ответ: Такой треугольник является прямоугольным.