Вариант В2 2. В прямоугольном треугольнике разность наибольшего и наименьшего внешних углов равна 70°. Найдите острые углы этого треугольника. 3. Определите, является ли прямоугольным треугольник, в котором сумма двух внешних и одного внутреннего угла равна 360°.

Решение:

Вариант В2

2. Нахождение острых углов прямоугольного треугольника

Пусть острые углы прямоугольного треугольника равны \( \alpha \) и \( \beta \). Тогда \( \alpha + \beta = 90° \).

Внешние углы при этих вершинах равны \( 180° - \alpha \) и \( 180° - \beta \).

Пусть \( 180° - \alpha \) — наибольший внешний угол, а \( 180° - \beta \) — наименьший (при условии, что \( \alpha < \beta \)).

Дано: \( (180° - \alpha) - (180° - \beta) = 70° \)

\( 180° - \alpha - 180° + \beta = 70° \)

\( \beta - \alpha = 70° \)

У нас есть система уравнений:

\( \begin{cases} \alpha + \beta = 90° \\ \beta - \alpha = 70° \end{cases} \)

Сложим уравнения:

\( 2\beta = 160° \)

\( \beta = 80° \)

Вычтем второе уравнение из первого:

\( 2\alpha = 20° \)

\( \alpha = 10° \)

Проверим: \( \alpha + \beta = 10° + 80° = 90° \). \( \beta - \alpha = 80° - 10° = 70° \).

Ответ: Острые углы треугольника равны 10° и 80°.

3. Проверка прямоугольности треугольника

Пусть внутренние углы треугольника \( A, B, C \).

Случай 1: Сумма двух внешних углов при вершинах \( A \) и \( B \) и внутреннего угла при вершине \( C \).

\( (180° - A) + (180° - B) + C = 360° \)

\( 360° - (A + B) + C = 360° \)

\( C - (A + B) = 0 \)

\( C = A + B \)

Так как \( A + B + C = 180° \), то подставим \( C = A + B \):

\( (A + B) + (A + B) = 180° \)

\( 2(A + B) = 180° \)

\( A + B = 90° \)

Следовательно, \( C = 90° \). Треугольник прямоугольный.

Случай 2: Сумма двух внешних углов при вершинах \( A \) и \( C \) и внутреннего угла при вершине \( B \).

\( (180° - A) + (180° - C) + B = 360° \)

\( 360° - (A + C) + B = 360° \)

\( B - (A + C) = 0 \)

\( B = A + C \)

Аналогично, \( B = 90° \). Треугольник прямоугольный.

Случай 3: Сумма двух внешних углов при вершинах \( B \) и \( C \) и внутреннего угла при вершине \( A \).

\( (180° - B) + (180° - C) + A = 360° \)

\( 360° - (B + C) + A = 360° \)

\( A - (B + C) = 0 \)

\( A = B + C \)

Аналогично, \( A = 90° \). Треугольник прямоугольный.

Ответ: Такой треугольник является прямоугольным.