Вариант В1 1 Разложите на простые множители числа: a) 1729; 6) 27720. 2 Найдите наибольший общий дели- тель и наименьшее общее кратное чисел: а) 36, 60 и 72; б) 70а и 556, где а и в простые числа больше 10. 3 Замените звездочки четырьмя одинаковыми цифрами так, чтобы числа 1** и *4* были взаимно простыми. Укажите все возможные решения. 4 Найдите значение выражения и выпишите все составные делители этого числа: (40,8+4,324:0,46) 1,5+8,7. 5 Известно, что а, b, с простые числа, причем произведение авс нечет- но. Докажите, что сумма a + b + с также нечетна.

Вариант В1

1. Разложение на простые множители:

а) 1729 = 7 * 13 * 19

б) 27720 = 2 * 2 * 2 * 3 * 3 * 5 * 7 * 11 = 2³ * 3² * 5 * 7 * 11

2. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное:

а) Для чисел 36, 60 и 72:

• Разложим числа на простые множители:
• 36 = 2² * 3²
• 60 = 2² * 3 * 5
• 72 = 2³ * 3²
• НОД(36, 60, 72) = 2² * 3 = 12
• НОК(36, 60, 72) = 2³ * 3² * 5 = 360

б) Для чисел 70а и 55b, где a и b - простые числа больше 10:

• 70а = 2 * 5 * 7 * a
• 55b = 5 * 11 * b
• НОД(70а, 55b) = 5
• НОК(70а, 55b) = 2 * 5 * 7 * 11 * a * b = 770ab

3. Замена звездочек:

Числа 1 и *4* должны быть взаимно простыми. Это значит, что у них нет общих делителей, кроме 1.

Проверим варианты:

• Если * = 0: 100 и 040 (40) - оба делятся на 20, не взаимно простые.
• Если * = 1: 111 и 141 - оба делятся на 3, не взаимно простые.
• Если * = 2: 122 и 242 - оба делятся на 2, не взаимно простые.
• Если * = 3: 133 = 7 * 19 и 343 = 7³ - оба делятся на 7, не взаимно простые.
• Если * = 4: 144 = 2⁴ * 3² и 444 = 2² * 3 * 37 - оба делятся на 12, не взаимно простые.
• Если * = 5: 155 = 5 * 31 и 545 = 5 * 109 - оба делятся на 5, не взаимно простые.
• Если * = 6: 166 = 2 * 83 и 646 = 2 * 17 * 19 - оба делятся на 2, не взаимно простые.
• Если * = 7: 177 = 3 * 59 и 747 = 3 * 249 - оба делятся на 3, не взаимно простые.
• Если * = 8: 188 = 2² * 47 и 848 = 2⁴ * 53 - оба делятся на 4, не взаимно простые.
• Если * = 9: 199 - простое число и 949 = 13 * 73. НОД(199, 949) = 1.

Решение: * = 9. Числа 199 и 949 взаимно простые.

4. Вычисление выражения и делители:

(40,8 + 4,324 : 0,46) * 1,5 + 8,7 = (40,8 + 9,4) * 1,5 + 8,7 = 50,2 * 1,5 + 8,7 = 75,3 + 8,7 = 84

Составные делители числа 84: 4, 6, 7, 12, 14, 21, 28, 42, 84

5. Доказательство:

Известно, что a, b, c - простые числа, и произведение abc нечетно. Докажем, что сумма a + b + c также нечетна.

Так как произведение abc нечетно, то все числа a, b и c должны быть нечетными (иначе произведение было бы четным).

Сумма трех нечетных чисел всегда нечетна: нечетное + нечетное = четное; четное + нечетное = нечетное.

Следовательно, a + b + c - нечетное число.