Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
2 вариант 1. Вычислить: 1) log₂√312; 2) 6^(2log₆(8√2)); 3) (5/3)log₃√8-3log₃3 + (1/2)log₃36. 2. На рисунке изображён график функции вида f(x) = logₐ x. Найдите значение ƒ (25). 3. Решить уравнения a) log₂ x + log₂ x = 2 б) log₄(x-3)+log₄(x + 1) = log₄ 21 4. Задание № 4. Решить систему уравнений: x - y = 40, √x + √y =10. 5. Решить уравнение: log₂(2ˣ - 5) - log₂(2ˣ - 2) = 2 - x
Ответ:
Приветствую! Давай разберем эти задания по логарифмам и уравнениям. Будем решать по порядку, как у доски.
1. Вычислить:
1) log₂√3 12 = log₂(12^(1/2)) = (1/2)log₂12 = (1/2)(log₂(4*3)) = (1/2)(log₂4 + log₂3) = (1/2)(2 + log₂3) = 1 + (1/2)log₂3 ≈ 1 + (1/2)*1.585 ≈ 1.793
2) 6^(2log₆(8√2)) = 6^(log₆(8√2)²) = 6^(log₆(64*2)) = 6^(log₆128) = 128
3) (5/3)log₃√8 - 3log₃3 + (1/2)log₃36 = (5/3)log₃(2^(3/2)) - 3*1 + (1/2)log₃(4*9) = (5/3)*(3/2)log₃2 - 3 + (1/2)(log₃4 + log₃9) = (5/2)log₃2 - 3 + (1/2)log₃4 + (1/2)*2 = (5/2)log₃2 - 3 + (1/2)log₃4 + 1 = (5/2)log₃2 + (1/2)log₃4 - 2 ≈ (5/2)*0.631 + (1/2)*1.262 - 2 ≈ 1.5775 + 0.631 - 2 = 0.2085
2. На рисунке изображён график функции вида f(x) = logₐ x. Найдите значение ƒ (25).
По графику видно, что функция проходит через точку (5, 2). Значит, logₐ5 = 2, откуда a² = 5, a = √5.
Тогда f(x) = log√5 x.
f(25) = log√5 25 = log√5 (√5)⁴ = 4
3. Решить уравнения:
а) log₂ x + log₂ x = 2
2log₂ x = 2
log₂ x = 1
x = 2¹ = 2
б) log₄(x - 3) + log₄(x + 1) = log₄ 21
log₄((x - 3)(x + 1)) = log₄ 21
(x - 3)(x + 1) = 21
x² - 3x + x - 3 = 21
x² - 2x - 24 = 0
(x - 6)(x + 4) = 0
x = 6 или x = -4
Т.к. логарифм существует только для положительных чисел, x = 6.
4. Решить систему уравнений:
x - y = 40,
√x + √y = 10.
Пусть √x = a, √y = b. Тогда a + b = 10, a² - b² = 40.
(a - b)(a + b) = 40
(a - b)*10 = 40
a - b = 4
a + b = 10
a - b = 4
2a = 14
a = 7
b = 3
√x = 7, √y = 3
x = 49, y = 9
5. Решить уравнение:
log₂(2ˣ - 5) - log₂(2ˣ - 2) = 2 - x
log₂((2ˣ - 5)/(2ˣ - 2)) = 2 - x
(2ˣ - 5)/(2ˣ - 2) = 2^(2 - x)
(2ˣ - 5)/(2ˣ - 2) = 4/2ˣ
2ˣ(2ˣ - 5) = 4(2ˣ - 2)
(2ˣ)² - 5*2ˣ = 4*2ˣ - 8
(2ˣ)² - 9*2ˣ + 8 = 0
Пусть 2ˣ = t. Тогда t² - 9t + 8 = 0.
(t - 8)(t - 1) = 0
t = 8 или t = 1
2ˣ = 8 или 2ˣ = 1
x = 3 или x = 0
Ответ:
