Вариант 2 Вычислите: a) Cos52° cos 22° + sin 22° sin 52°; б) sin 134° cos 44° - cos 134° sin 44°; B) cos \frac{10π}{6} cos \frac{8π}{6} - sin \frac{8π}{6} sin \frac{10π}{6}; г) sin α cos 3α – sin 3α cos α. д) cos(α - \frac{π}{3}), если cosα = -\frac{15}{17} и \frac{π}{2} < α < π.

a)

Используем формулу косинуса суммы углов: $$cos(a + b) = cos a \cdot cos b - sin a \cdot sin b$$. В нашем случае дана формула косинуса разности углов: $$cos(a - b) = cos a \cdot cos b + sin a \cdot sin b$$

Тогда выражение можно преобразовать к виду:

$$cos52° cos 22° + sin 22° sin 52° = cos(52° - 22°) = cos30° = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Ответ: $$\frac{\sqrt{3}}{2}$$

б)

Используем формулу синуса разности углов: $$sin(a - b) = sin a \cdot cos b - cos a \cdot sin b$$

Тогда выражение можно преобразовать к виду:

$$sin 134° cos 44° - cos 134° sin 44° = sin(134° - 44°) = sin90° = 1$$

Ответ: 1

в)

Используем формулу косинуса суммы углов: $$cos(a + b) = cos a \cdot cos b - sin a \cdot sin b$$

Тогда выражение можно преобразовать к виду:

$$cos \frac{10π}{6} cos \frac{8π}{6} - sin \frac{8π}{6} sin \frac{10π}{6} = cos(\frac{10π}{6} + \frac{8π}{6}) = cos \frac{18π}{6} = cos 3π = cos π = -1$$

Ответ: -1

г)

Используем формулу синуса разности углов: $$sin(a - b) = sin a \cdot cos b - cos a \cdot sin b$$

Тогда выражение можно преобразовать к виду:

$$sin α cos 3α – sin 3α cos α = sin(α - 3α) = sin(-2α) = -sin(2α)$$.

Применим формулу синуса двойного угла: $$sin2α = 2sinαcosα$$

Выразим $$sinα$$ через $$cosα$$, используя основное тригонометрическое тождество: $$sin^2α + cos^2α = 1$$

$$sin^2α = 1 - cos^2α = 1 - (-\frac{15}{17})^2 = 1 - \frac{225}{289} = \frac{289 - 225}{289} = \frac{64}{289}$$

Так как $$ \frac{π}{2} < α < π$$, то $$sin α > 0$$, тогда $$sinα = \sqrt{\frac{64}{289}} = \frac{8}{17}$$

Теперь можем найти $$sin2α$$:

$$sin2α = 2sinαcosα = 2 \cdot \frac{8}{17} \cdot (-\frac{15}{17}) = -\frac{240}{289}$$

Тогда исходное выражение:

$$-sin2α = -(-\frac{240}{289}) = \frac{240}{289}$$

Ответ: $$\frac{240}{289}$$

д)

Используем формулу косинуса разности углов: $$cos(a - b) = cos a \cdot cos b + sin a \cdot sin b$$

Тогда выражение можно преобразовать к виду:

$$cos(α - \frac{π}{3}) = cos α \cdot cos \frac{π}{3} + sin α \cdot sin \frac{π}{3} = cos α \cdot \frac{1}{2} + sin α \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Нам известно, что $$cosα = -\frac{15}{17}$$, и из предыдущего пункта $$sinα = \frac{8}{17}$$.

Подставим значения в формулу:

$$cos(α - \frac{π}{3}) = -\frac{15}{17} \cdot \frac{1}{2} + \frac{8}{17} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{-15 + 8\sqrt{3}}{34}$$

Ответ: $$\frac{-15 + 8\sqrt{3}}{34}$$