Вариант 2 Вычислите: cos 52°cos 7° + Sin 52°sin 7° sin 29°cos 16° + sin 16° cos 290 ешите уравнения: a) cos(x + 픙)-1=0 5) 200SX = 1 6) 2005²x-5cOSX +2 = D сшите неравенства: a) sin x < 53 2

Решение:

1. Вычислите:

   $$ \frac{\cos 52^\circ \cos 7^\circ + \sin 52^\circ \sin 7^\circ}{\sin 29^\circ \cos 16^\circ + \sin 16^\circ \cos 29^\circ} $$

   Используем формулы косинуса разности и синуса суммы:

   $$\cos(a + b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b$$

   $$\sin(a + b) = \sin a \cos b + \sin b \cos a$$

   Тогда выражение можно переписать как:

   $$ \frac{\cos (52^\circ - 7^\circ)}{\sin (29^\circ + 16^\circ)} = \frac{\cos 45^\circ}{\sin 45^\circ} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 1 $$

   Ответ: 1

2. Решите уравнения:

   1. $$ \cos(x + \frac{\pi}{6}) - 1 = 0 $$

      $$ \cos(x + \frac{\pi}{6}) = 1 $$

      $$ x + \frac{\pi}{6} = 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $$

      $$ x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $$

      Ответ: $$ x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $$

   2. $$ 2 \cos x = 1 $$

      $$ \cos x = \frac{1}{2} $$

      $$ x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $$

      Ответ: $$ x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $$

   3. $$ 2 \cos^2 x - 5 \cos x + 2 = 0 $$

      Пусть $$ t = \cos x $$, тогда

      $$ 2t^2 - 5t + 2 = 0 $$

      $$ D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 $$

      $$ t_1 = \frac{5 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2 $$

      $$ t_2 = \frac{5 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $$

      Так как $$ -1 \le \cos x \le 1 $$, то $$ t_1 = 2 $$ не является решением.

      Тогда $$ \cos x = \frac{1}{2} $$

      $$ x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $$

      Ответ: $$ x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $$

3. Решите неравенства:

   1. $$ \sin x < \frac{\sqrt{3}}{2} $$

      $$ x \in (-\infty; \frac{\pi}{3} + 2\pi n) \cup (\frac{2\pi}{3} + 2\pi n; +\infty), n \in \mathbb{Z} $$

      Ответ: $$ x \in (-\infty; \frac{\pi}{3} + 2\pi n) \cup (\frac{2\pi}{3} + 2\pi n; +\infty), n \in \mathbb{Z} $$