ВАРИАНТ 12 x-4 1. + 6 = 6 x-3x2-9 7 x-7 8 20 2. = x-5 x+5 25-x² 2' x-4 8 x-8 = 0; 3. + x-2x²-4x+2 x+1 x-4 15 4. + x-2x+3 (x-2)(x+3)

Задание 1

\[\frac{x-4}{x-3} + \frac{6}{x^2-9} = \frac{6}{7}\]

\[\frac{x-4}{x-3} + \frac{6}{(x-3)(x+3)} = \frac{6}{7}\]

Умножим обе части на 7(x-3)(x+3):

\[7(x-4)(x+3) + 7(6) = 6(x-3)(x+3)\]

\[7(x^2 - 4x + 3x - 12) + 42 = 6(x^2 - 9)\]

\[7x^2 - 7x - 84 + 42 = 6x^2 - 54\]

\[x^2 - 7x - 42 + 54 = 0\]

\[x^2 - 7x + 12 = 0\]

Решаем квадратное уравнение:

\[D = (-7)^2 - 4(1)(12) = 49 - 48 = 1\]

\[x_1 = \frac{7 + 1}{2} = 4\]

\[x_2 = \frac{7 - 1}{2} = 3\]

Проверяем корни. x = 3 не подходит, так как обращает знаменатель в нуль. Следовательно, x = 4.

Ответ: x = 4

Задание 2

\[\frac{x-7}{x-5} - \frac{8}{x+5} = \frac{20}{25-x^2}\]

\[\frac{x-7}{x-5} - \frac{8}{x+5} = \frac{20}{(5-x)(5+x)}\]

\[\frac{x-7}{x-5} - \frac{8}{x+5} = -\frac{20}{(x-5)(x+5)}\]

Умножим обе части на (x-5)(x+5):

\[(x-7)(x+5) - 8(x-5) = -20\]

\[x^2 + 5x - 7x - 35 - 8x + 40 = -20\]

\[x^2 - 10x + 5 = -20\]

\[x^2 - 10x + 25 = 0\]

\[(x-5)^2 = 0\]

\[x = 5\]

Проверяем корни. x = 5 не подходит, так как обращает знаменатель в нуль. Следовательно, уравнение не имеет решений.

Ответ: Нет решений

Задание 3

\[\frac{x-4}{x-2} + \frac{8}{x^2-4} + \frac{x-8}{x+2} = 0\]

\[\frac{x-4}{x-2} + \frac{8}{(x-2)(x+2)} + \frac{x-8}{x+2} = 0\]

Умножим обе части на (x-2)(x+2):

\[(x-4)(x+2) + 8 + (x-8)(x-2) = 0\]

\[x^2 + 2x - 4x - 8 + 8 + x^2 - 2x - 8x + 16 = 0\]

\[2x^2 - 12x + 16 = 0\]

\[x^2 - 6x + 8 = 0\]

Решаем квадратное уравнение:

\[D = (-6)^2 - 4(1)(8) = 36 - 32 = 4\]

\[x_1 = \frac{6 + 2}{2} = 4\]

\[x_2 = \frac{6 - 2}{2} = 2\]

Проверяем корни. x = 2 не подходит, так как обращает знаменатель в нуль. Следовательно, x = 4.

Ответ: x = 4

Задание 4

\[\frac{x+1}{x-2} + \frac{x-4}{x+3} = \frac{15}{(x-2)(x+3)}\]

Умножим обе части на (x-2)(x+3):

\[(x+1)(x+3) + (x-4)(x-2) = 15\]

\[x^2 + 3x + x + 3 + x^2 - 2x - 4x + 8 = 15\]

\[2x^2 - 2x + 11 = 15\]

\[2x^2 - 2x - 4 = 0\]

\[x^2 - x - 2 = 0\]

Решаем квадратное уравнение:

\[D = (-1)^2 - 4(1)(-2) = 1 + 8 = 9\]

\[x_1 = \frac{1 + 3}{2} = 2\]

\[x_2 = \frac{1 - 3}{2} = -1\]

Проверяем корни. x = 2 не подходит, так как обращает знаменатель в нуль. Следовательно, x = -1.

Ответ: x = -1