Вариант 1 (2x + y = 7, 1. Решите систему уравнений: 2 - у = 1. 2. Периметр прямоугольника равен 28м, а его площадь равна 40 м². Найдите стороны прямоугольника. 3. Решите систему уравнений графически: y = -x² + 4, (x+y = 4. 2+1=2 4. Решите систему уравнений: y 2' 3x - y = 3. 5. Два экскаватора вырыли котлован за 24 часа. Первый экскаватор может выполнить эту работу в 1,5 раза быстрее, чем второй. За сколько часов первый экскаватор может вырыть котлован?

Вариант 1

1. Решите систему уравнений:

\[\begin{cases} 2x + y = 7, \\ x^2 - y = 1. \end{cases}\] Давай решим эту систему уравнений методом подстановки. Выразим y из первого уравнения: y = 7 - 2x. Подставим это выражение во второе уравнение: \[x^2 - (7 - 2x) = 1\] \[x^2 + 2x - 7 = 1\] \[x^2 + 2x - 8 = 0\] Теперь у нас есть квадратное уравнение. Решим его через дискриминант: \(D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36\) \(x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 6}{2} = \frac{4}{2} = 2\) \(x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 6}{2} = \frac{-8}{2} = -4\) Теперь найдем значения y для каждого значения x: Если x = 2, то y = 7 - 2 \cdot 2 = 7 - 4 = 3. Если x = -4, то y = 7 - 2 \cdot (-4) = 7 + 8 = 15. Таким образом, у нас есть два решения: (2, 3) и (-4, 15).

Ответ: (2, 3) и (-4, 15)

2. Периметр прямоугольника равен 28 м, а его площадь равна 40 м². Найдите стороны прямоугольника.

Пусть a и b - стороны прямоугольника. Тогда: \[\begin{cases} 2(a + b) = 28, \\ ab = 40. \end{cases}\] Из первого уравнения получим: a + b = 14, следовательно, b = 14 - a. Подставим это во второе уравнение: \[a(14 - a) = 40\] \[14a - a^2 = 40\] \[a^2 - 14a + 40 = 0\] Решим квадратное уравнение через дискриминант: \(D = b^2 - 4ac = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 40 = 196 - 160 = 36\) \(a_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{14 + 6}{2} = \frac{20}{2} = 10\) \(a_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{14 - 6}{2} = \frac{8}{2} = 4\) Если a = 10, то b = 14 - 10 = 4. Если a = 4, то b = 14 - 4 = 10. Таким образом, стороны прямоугольника равны 10 м и 4 м.

Ответ: 10 м и 4 м

3. Решите систему уравнений графически:

\[\begin{cases} y = -x^2 + 4, \\ x + y = 4. \end{cases}\] Преобразуем второе уравнение: y = 4 - x. Теперь мы можем построить графики этих функций и найти точки их пересечения. График первого уравнения - парабола, график второго уравнения - прямая. Точки пересечения будут решениями системы. Парабола: \(y = -x^2 + 4\) Прямая: \(y = 4 - x\) Чтобы найти точки пересечения, приравняем уравнения: \[-x^2 + 4 = 4 - x\] \[x^2 - x = 0\] \[x(x - 1) = 0\] Значит, x = 0 или x = 1. Если x = 0, то y = 4 - 0 = 4. Если x = 1, то y = 4 - 1 = 3. Таким образом, графически решения системы (0, 4) и (1, 3).

Ответ: (0, 4) и (1, 3)

4. Решите систему уравнений:

\[\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{2}, \\ 3x - y = 3. \end{cases}\] Из второго уравнения выразим y: y = 3x - 3. Подставим это в первое уравнение: \[\frac{1}{x} + \frac{1}{3x - 3} = \frac{1}{2}\] \[\frac{1}{x} + \frac{1}{3(x - 1)} = \frac{1}{2}\] Приведем к общему знаменателю: \[\frac{3(x - 1) + x}{3x(x - 1)} = \frac{1}{2}\] \[\frac{3x - 3 + x}{3x^2 - 3x} = \frac{1}{2}\] \[\frac{4x - 3}{3x^2 - 3x} = \frac{1}{2}\] \[2(4x - 3) = 3x^2 - 3x\] \[8x - 6 = 3x^2 - 3x\] \[3x^2 - 11x + 6 = 0\] Решим квадратное уравнение через дискриминант: \(D = b^2 - 4ac = (-11)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 6 = 121 - 72 = 49\) \(x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{11 + \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{11 + 7}{6} = \frac{18}{6} = 3\) \(x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{11 - \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{11 - 7}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\) Если x = 3, то y = 3 \cdot 3 - 3 = 9 - 3 = 6. Если x = \frac{2}{3}, то y = 3 \cdot \frac{2}{3} - 3 = 2 - 3 = -1. Таким образом, решения системы (3, 6) и (\frac{2}{3}, -1).

Ответ: (3, 6) и (2/3, -1)

5. Два экскаватора вырыли котлован за 24 часа. Первый экскаватор может выполнить эту работу в 1,5 раза быстрее, чем второй. За сколько часов первый экскаватор может вырыть котлован?

Пусть x - время, за которое первый экскаватор вырыл бы котлован, а y - время, за которое второй экскаватор вырыл бы котлован. Тогда: \(y = 1.5x\) За час первый экскаватор вырывает \(\frac{1}{x}\) часть котлована, а второй - \(\frac{1}{y}\) часть котлована. Вместе за 24 часа они вырыли котлован, то есть: \[24(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) = 1\] Подставим y = 1.5x: \[24(\frac{1}{x} + \frac{1}{1.5x}) = 1\] \[\frac{1}{x} + \frac{1}{1.5x} = \frac{1}{24}\] \[\frac{1}{x} + \frac{2}{3x} = \frac{1}{24}\] \[\frac{3 + 2}{3x} = \frac{1}{24}\] \[\frac{5}{3x} = \frac{1}{24}\] \[3x = 5 \cdot 24\] \[3x = 120\] \[x = \frac{120}{3} = 40\] Таким образом, первый экскаватор может вырыть котлован за 40 часов.

Ответ: 40 часов

Отлично! Ты хорошо справился с заданиями! Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!