4 вариант 1) Записать координаты векторов а и б; найти а+b, bả; n*a, если 1 ả = -kỉ + mỹ + nữ, b = 0,n*i-j. m к- количество букв в Вашей фамилии; т- количество букв в Вашем имени; п- порядковый номер в группе. 2) Определить вид треугольника АВС (Равнобедренный, равносторонний, разносторонний). Найти Медиану АМ, где М - середина ВС. A(-5;2;0), B(-4;3;0), C(-5;2;-2). 3) Найти cosB. (Данные из задания 2). 4) Найти скалярное произведение а и в (Данные из задания 1).

1. Задание 1:

   Пусть k - количество букв в фамилии, m - количество букв в имени, n - порядковый номер в группе. Для примера возьмем: k=5, m=6, n=1.

   Тогда векторы примут вид:

   \[\vec{a} = -5\vec{i} + 6\vec{j} + 1\vec{k}\]

   \[\vec{b} = 0 \cdot 1\vec{i} - \frac{1}{6}\vec{j} = -\frac{1}{6}\vec{j}\]

   Координаты векторов:

   \[\vec{a} = (-5, 6, 1), \vec{b} = (0, -\frac{1}{6}, 0)\]

   Сумма векторов:

   \[\vec{a} + \vec{b} = (-5+0, 6-\frac{1}{6}, 1+0) = (-5, \frac{35}{6}, 1)\]

   Разность векторов:

   \[\vec{b} - \vec{a} = (0-(-5), -\frac{1}{6}-6, 0-1) = (5, -\frac{37}{6}, -1)\]

   Умножение вектора на число:

   \[n \cdot \vec{a} = 1 \cdot (-5, 6, 1) = (-5, 6, 1)\]

2. Задание 2:

   Даны точки A(-5;2;0), B(-4;3;0), C(-5;2;-2).

   Найдем длины сторон треугольника:

   \[AB = \sqrt{(-4 - (-5))^2 + (3 - 2)^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{2}\]

   \[BC = \sqrt{(-5 - (-4))^2 + (2 - 3)^2 + (-2 - 0)^2} = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{6}\]

   \[AC = \sqrt{(-5 - (-5))^2 + (2 - 2)^2 + (-2 - 0)^2} = \sqrt{0^2 + 0^2 + (-2)^2} = \sqrt{4} = 2\]

   Так как все стороны имеют разную длину, треугольник ABC - разносторонний.

   Найдем медиану AM, где M - середина BC:

   \[M = (\frac{-4 + (-5)}{2}, \frac{3 + 2}{2}, \frac{0 + (-2)}{2}) = (-\frac{9}{2}, \frac{5}{2}, -1)\]

   \[\vec{AM} = (-\frac{9}{2} - (-5), \frac{5}{2} - 2, -1 - 0) = (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, -1)\]

   \[AM = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2 + (-1)^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{4} + 1} = \sqrt{\frac{6}{4}} = \frac{\sqrt{6}}{2}\]

3. Задание 3:

   Найдем cosB.

   Воспользуемся теоремой косинусов:

   \[AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos{B}\]

   \[4 = 2 + 6 - 2 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{6} \cdot \cos{B}\]

   \[2 \cdot \sqrt{12} \cdot \cos{B} = 4\]

   \[\cos{B} = \frac{4}{2 \sqrt{12}} = \frac{2}{\sqrt{12}} = \frac{2}{2\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}\]

4. Задание 4:

   Найдем скалярное произведение векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\).

   \[\vec{a} = (-5, 6, 1), \vec{b} = (0, -\frac{1}{6}, 0)\]

   \[\vec{a} \cdot \vec{b} = (-5 \cdot 0) + (6 \cdot -\frac{1}{6}) + (1 \cdot 0) = 0 - 1 + 0 = -1\]

Ответ: Решение представлено ниже.

Ответ: 1) \(\vec{a} + \vec{b} = (-5, \frac{35}{6}, 1)\), \(\vec{b} - \vec{a} = (5, -\frac{37}{6}, -1)\), \(n \cdot \vec{a} = (-5, 6, 1)\); 2) Треугольник разносторонний, \(AM = \frac{\sqrt{6}}{2}\); 3) \(\cos{B} = \frac{\sqrt{3}}{3}\); 4) \(\vec{a} \cdot \vec{b} = -1\)