Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
2 вариант 1.C(-4;6), D(-1;2). Найдите координаты CD 2. MN{-2; 3}. Найдите длину MN. 3. Точка А-середина отрезка CD. Найдите координаты точки А, если С(2;-4), D(1;10). 4 Даны координаты вершин четырехугольника ABCD: A(-6;1), B(0;5), C(6;-4), D(0;-8). Докажите, что ABCD – параллелограмм и найдите координаты точки пересечения его диагоналей. 5. Β ΔΜΚΡ <M=45°, высота КН делит сторону МР на отрезки, длины которых би 2, считая от вершины М. Найдите длину медианы, поведенной из вершины М.
Ответ:
- Координаты вектора $$\overrightarrow{CD}$$ находятся как разность координат конца и начала вектора: $$\overrightarrow{CD} = (x_D - x_C; y_D - y_C)$$ $$\overrightarrow{CD} = (-1 - (-4); 2 - 6) = (3; -4)$$ Ответ: $$\overrightarrow{CD} = (3; -4)$$
- Длина вектора $$\overrightarrow{MN}$$ находится по формуле: $$|\overrightarrow{MN}| = \sqrt{x^2 + y^2}$$ $$|\overrightarrow{MN}| = \sqrt{(-2)^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$$ Ответ: $$|\overrightarrow{MN}| = \sqrt{13}$$
- Координаты середины отрезка CD находятся по формулам: $$x_A = \frac{x_C + x_D}{2}; y_A = \frac{y_C + y_D}{2}$$ $$x_A = \frac{2 + 1}{2} = \frac{3}{2} = 1.5$$ $$y_A = \frac{-4 + 10}{2} = \frac{6}{2} = 3$$ Ответ: A(1.5; 3)
- Чтобы доказать, что ABCD – параллелограмм, нужно показать, что его противоположные стороны попарно параллельны и равны. Найдем векторы сторон: $$\overrightarrow{AB} = (0 - (-6); 5 - 1) = (6; 4)$$ $$\overrightarrow{DC} = (6 - 0; -4 - (-8)) = (6; 4)$$ $$\overrightarrow{BC} = (6 - 0; -4 - 5) = (6; -9)$$ $$\overrightarrow{AD} = (0 - (-6); -8 - 1) = (6; -9)$$ Так как $$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$$ и $$\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}$$, то ABCD – параллелограмм. Координаты точки пересечения диагоналей параллелограмма являются серединами обеих диагоналей. Найдем координаты середины диагонали AC (точка O): $$x_O = \frac{x_A + x_C}{2}; y_O = \frac{y_A + y_C}{2}$$ $$x_O = \frac{-6 + 6}{2} = 0$$ $$y_O = \frac{1 + (-4)}{2} = -\frac{3}{2} = -1.5$$ Ответ: ABCD - параллелограмм, O(0; -1.5)
- В $$\triangle MKP$$ $$\angle M = 45^\circ$$. Высота KH делит сторону MP на отрезки MH и HP, причем MH = 2. Так как KH - высота, то $$\triangle MHP$$ - прямоугольный. Рассмотрим $$\triangle MKH$$: $$\angle M = 45^\circ$$, значит, $$\angle K = 90^\circ$$, следовательно, $$\angle H = 45^\circ$$. Тогда $$\triangle MKH$$ - равнобедренный, и MH = KH = 2. Теперь рассмотрим $$\triangle KHP$$: KH = 2. Пусть HP = x. Тогда, по условию, x = 2. Значит, MP = MH + HP = 2 + x = 2 + 2 = 4. Пусть медиана, проведенная из вершины M, будет MO. Тогда O - середина KP. Следовательно, KO = OP. Найдем KP: $$KP = \sqrt{KH^2 + HP^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$$ Тогда KO = OP = $$\frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$$. Теперь рассмотрим $$\triangle MOP$$: MO - медиана, MP = 4, OP = $$\sqrt{2}$$. Найдем MO: По теореме косинусов: $$MO^2 = MP^2 + OP^2 - 2 \cdot MP \cdot OP \cdot \cos(\angle P)$$ $$tg(\angle P) = \frac{KH}{HP} = \frac{2}{2} = 1$$ Следовательно, $$\angle P = 45^\circ$$, а $$\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$$. $$MO^2 = 4^2 + (\sqrt{2})^2 - 2 \cdot 4 \cdot \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 16 + 2 - 8 = 10$$ $$MO = \sqrt{10}$$ Ответ: $$\sqrt{10}$$
