4. 1 вариант. Дан треугольник АВС. Плоскость, параллельная прямой АВ, пересекает сторону АС этого треугольника в точке А1, а сторону ВС в точке В1. Найти А1В1, если АВ=14см, AC: A1C=7:2. 2 вариант. Через конец А отрезка АВ проведена плоскость. Через конец В и точку С этого отрезка проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость в точках В1 и С1. Найти ВВ1, если СС1=2см, АВ: АС=5:2.

1 вариант.

Рассмотрим треугольник ABC. Плоскость, параллельная прямой AB, пересекает сторону AC в точке A₁, а сторону BC в точке B₁. Нужно найти длину отрезка A₁B₁, если известно, что AB = 14 см и AC : A₁C = 7 : 2.

Так как плоскость, проходящая через A₁B₁, параллельна AB, то A₁B₁ || AB. Следовательно, треугольники ABC и A₁B₁C подобны по двум углам (угол C общий, углы при вершинах A и A₁ равны как соответственные при параллельных прямых AB и A₁B₁ и секущей AC).

Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон: AC/A₁C = BC/B₁C = AB/A₁B₁. Из условия задачи известно, что AC : A₁C = 7 : 2. Значит, AC/A₁C = 7/2.

Тогда AB/A₁B₁ = 7/2.

Известно, что AB = 14 см. Подставим это значение в пропорцию: 14/A₁B₁ = 7/2.

Чтобы найти A₁B₁, можно воспользоваться свойством пропорции: A₁B₁ = (14 × 2) / 7 = 28 / 7 = 4 см.

Следовательно, A₁B₁ = 4 см.

Ответ: 4 см

2 вариант.

Через конец A отрезка AB проведена плоскость. Через конец B и точку C этого отрезка проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость в точках B₁ и C₁. Требуется найти BB₁, если CC₁ = 2 см и AB : AC = 5 : 2.

Так как BB₁ || CC₁, то можно рассмотреть подобные треугольники. Пусть A - начало отрезка, и отложены точки B и C на этом отрезке, а B₁ и C₁ - проекции этих точек на плоскость.

По условию AB : AC = 5 : 2. Обозначим AB = 5x и AC = 2x. Тогда CB = AB - AC = 5x - 2x = 3x.

По теореме о пропорциональных отрезках: BB₁ / CC₁ = AB / AC. Отсюда BB₁ / 2 = 5x / 2x.

Получаем BB₁ / 2 = 5 / 2.

BB₁ = (5 × 2) / 2 = 5 см.

Ответ: 5 см