вариант ІІ уровень 1. В прямоугольной трапеции основания равны 5 и 17 см, а боль- шая боковая сторона – 13 см. Найдите площадь трапеции. 2. В треугольнике две стороны равны 10 и 12 см, а угол между ними 45°. Найдите площадь треугольника. вариант 1. В прямоугольной трапеции боковые стороны равны 15 и 9 см, а большее основание – 20 см. Найдите площадь трапеции. 2. В треугольнике две стороны равны 12 и 8 см, а угол между ними 60°. Найдите площадь треугольника.

Ответ:

Вариант 1

1. В прямоугольной трапеции основания равны 5 см и 17 см, а большая боковая сторона равна 13 см. Необходимо найти площадь трапеции.

   Решение:

   Площадь трапеции вычисляется по формуле: $$S = \frac{a+b}{2} \cdot h$$, где $$a$$ и $$b$$ – основания трапеции, $$h$$ – высота трапеции.

   В данной трапеции основания равны 5 см и 17 см. Высоту можно найти, если рассмотреть прямоугольный треугольник, образованный высотой трапеции, боковой стороной и частью большего основания. Эта часть равна разности оснований, т.е. $$17 - 5 = 12$$ см.

   По теореме Пифагора: $$h^2 + 12^2 = 13^2$$, откуда $$h^2 = 169 - 144 = 25$$, следовательно, $$h = 5$$ см.

   Тогда площадь трапеции равна: $$S = \frac{5+17}{2} \cdot 5 = \frac{22}{2} \cdot 5 = 11 \cdot 5 = 55$$ см$$^2$$.

   Ответ: 55 см$$^2$$

2. В треугольнике две стороны равны 10 см и 12 см, а угол между ними равен 45°. Необходимо найти площадь треугольника.

   Решение:

   Площадь треугольника можно вычислить по формуле: $$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(\gamma)$$, где $$a$$ и $$b$$ – стороны треугольника, $$\gamma$$ – угол между ними.

   В данном случае $$a = 10$$ см, $$b = 12$$ см, $$\gamma = 45^\circ$$.

   Тогда площадь треугольника равна: $$S = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12 \cdot \sin(45^\circ) = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 60 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 30\sqrt{2}$$ см$$^2$$.

   Ответ: $$30\sqrt{2}$$ см$$^2$$

Вариант 2

1. В прямоугольной трапеции боковые стороны равны 15 см и 9 см, а большее основание равно 20 см. Необходимо найти площадь трапеции.

   Решение:

   Пусть $$a$$ и $$b$$ – основания трапеции, $$h$$ – высота трапеции. Площадь трапеции вычисляется по формуле: $$S = \frac{a+b}{2} \cdot h$$.

   В данной трапеции большее основание равно 20 см. Так как трапеция прямоугольная, то одна из боковых сторон является высотой, т.е. $$h = 9$$ см.

   Чтобы найти меньшее основание, рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный второй боковой стороной, высотой и частью большего основания. Тогда, по теореме Пифагора: $$9^2 + x^2 = 15^2$$, где $$x$$ – часть большего основания. Отсюда $$x^2 = 225 - 81 = 144$$, следовательно, $$x = 12$$ см.

   Тогда меньшее основание равно: $$20 - 12 = 8$$ см.

   Площадь трапеции равна: $$S = \frac{8+20}{2} \cdot 9 = \frac{28}{2} \cdot 9 = 14 \cdot 9 = 126$$ см$$^2$$.

   Ответ: 126 см$$^2$$

2. В треугольнике две стороны равны 12 см и 8 см, а угол между ними равен 60°. Необходимо найти площадь треугольника.

   Решение:

   Площадь треугольника можно вычислить по формуле: $$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(\gamma)$$, где $$a$$ и $$b$$ – стороны треугольника, $$\gamma$$ – угол между ними.

   В данном случае $$a = 12$$ см, $$b = 8$$ см, $$\gamma = 60^\circ$$.

   Тогда площадь треугольника равна: $$S = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 8 \cdot \sin(60^\circ) = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 48 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 24\sqrt{3}$$ см$$^2$$.

   Ответ: $$24\sqrt{3}$$ см$$^2$$