1 вариант 1.М и №-середина сторон АС И СВ треугольника АВС. Найдите АВ и угол В, если АЕ MN=8 см, М= 46. 2.В равнобедренном треугольнике АВС медианы пересекаются в точке О. Найдите расстояние от точки О до вершины В данного треугольника, если АВ= AC=13см, ВС=10см.

Задание 1

• Дано: M и N – середины сторон AC и CB треугольника ABC, MN = 8 см, ∠NMB = 46°
• Найти: AB и угол B

• MN – средняя линия треугольника ABC (по условию).
• Средняя линия треугольника равна половине стороны, которой она параллельна: AB = 2MN = 2 ⋅ 8 = 16 см.
• MN || AB, следовательно, углы ∠NMB и ∠B – соответственные углы при параллельных прямых и секущей, значит, ∠B = ∠NMB = 46°.

Ответ: АВ = 16 см, ∠В = 46°

Задание 2

• Дано: ABC – равнобедренный треугольник, AB = AC = 13 см, BC = 10 см, медианы пересекаются в точке O.
• Найти: расстояние от точки O до вершины B.

1. В равнобедренном треугольнике медианы, проведённые к боковым сторонам, равны. Пусть медианы BB₁ и CC₁ пересекаются в точке O.
2. Точка пересечения медиан делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Значит, BO : OB₁ = 2 : 1.
3. Высота AH является и медианой, поэтому BH = HC = 5 см.
4. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. По теореме Пифагора: AH = √(AB² - BH²) = √(13² - 5²) = √(169 - 25) = √144 = 12 см.
5. Площадь треугольника ABC можно найти как половину произведения основания на высоту: S = (1/2) ⋅ BC ⋅ AH = (1/2) ⋅ 10 ⋅ 12 = 60 см².
6. Медиана BB₁ делится на отрезки BO и OB₁. Площадь треугольника ABC также может быть выражена через медиану BB₁ и высоту, проведённую к ней.
7. BB₁ можно найти, используя формулу для медианы: BB₁ = √(2(AB² + BC²) - AC²) / 2 = √(2(13² + 10²) - 13²) / 2 = √(2(169 + 100) - 169) / 2 = √(2 ⋅ 269 - 169) / 2 = √(538 - 169) / 2 = √369 / 2 ≈ 9.6 см.
8. Так как медианы точкой пересечения делятся в отношении 2:1, то BO = (2/3) ⋅ BB₁ = (2/3) ⋅ (√369 / 2) = √369 / 3 ≈ 6.4 см.

Ответ: расстояние от точки O до вершины B ≈ 6.4 см.