1 вариант Решите уравнение (1-5): 1. √2x-1-x. 6 6 8. V2x²-2-V4x-1. 2. 8-10 cos x = 2 sin x. 4. lg sin 2x=lg cos x. 5. x²+x+lgsinx=1+lgsinx.

Ответ: Решения уравнений представлены ниже.

1. √2x = 1 - x
• Возводим обе части в квадрат: 2x = (1 - x)²
• Раскрываем скобки: 2x = 1 - 2x + x²
• Приводим к квадратному уравнению: x² - 4x + 1 = 0
• Решаем квадратное уравнение через дискриминант:
\[ D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 16 - 4 = 12 \] \[ x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 2 \pm \sqrt{3} \]
• Проверяем корни:
\[ x_1 = 2 - \sqrt{3} \approx 0.268 \] \[ \sqrt{2 \cdot (2 - \sqrt{3})} = 1 - (2 - \sqrt{3}) \] \[ \sqrt{4 - 2\sqrt{3}} = -1 + \sqrt{3} \] \[ \sqrt{3} - 1 = \sqrt{3} - 1 \] (верно) \[ x_2 = 2 + \sqrt{3} \approx 3.732 \] \[ \sqrt{2 \cdot (2 + \sqrt{3})} = 1 - (2 + \sqrt{3}) \] \[ \sqrt{4 + 2\sqrt{3}} = -1 - \sqrt{3} \] (не верно, так как левая часть положительная, а правая отрицательная)
• Ответ: x = 2 - √3
2. √(8 - 10cos x) = 2sin x
• Возводим обе части в квадрат: 8 - 10cos x = 4sin²x
• Заменяем sin²x на 1 - cos²x: 8 - 10cos x = 4(1 - cos²x)
• Преобразуем: 8 - 10cos x = 4 - 4cos²x
• Приводим к квадратному уравнению относительно cos x: 4cos²x - 10cos x + 4 = 0
• Делим на 2: 2cos²x - 5cos x + 2 = 0
• Решаем квадратное уравнение:
\[D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9\] \[\cos x_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{4} = \frac{5 \pm 3}{4}\] \[\cos x_1 = \frac{5 + 3}{4} = 2\] (не подходит, так как |cos x| ≤ 1) \[\cos x_2 = \frac{5 - 3}{4} = \frac{1}{2}\]
• Находим x: x = ±π/3 + 2πk, k ∈ Z
• Проверяем корни:
\[x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k\] \[\sqrt{8 - 10 \cos(\frac{\pi}{3})} = 2 \sin(\frac{\pi}{3})\] \[\sqrt{8 - 10 \cdot \frac{1}{2}} = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\] \[\sqrt{3} = \sqrt{3}\] (верно) \[x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k\] \[\sqrt{8 - 10 \cos(-\frac{\pi}{3})} = 2 \sin(-\frac{\pi}{3})\] \[\sqrt{8 - 10 \cdot \frac{1}{2}} = 2 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2})\] \[\sqrt{3} = -\sqrt{3}\] (не верно)
• Ответ: x = π/3 + 2πk, k ∈ Z
3. √(2x² - 2) = √(4x - 1)
• Возводим обе части в шестую степень: (2x² - 2) = (4x - 1)
• Приводим к уравнению: 2x² - 2 = 4x - 1
• Преобразуем: 2x² - 4x - 1 = 0
• Решаем квадратное уравнение:
\[D = (-4)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 16 + 8 = 24\] \[x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{24}}{4} = \frac{4 \pm 2\sqrt{6}}{4} = 1 \pm \frac{\sqrt{6}}{2}\]
• Проверяем корни (подставляем в исходное уравнение).
• Ответ: x = 1 + √6/2
4. lg(sin 2x) = lg(cos x)
• Приравниваем аргументы логарифмов: sin 2x = cos x
• Используем формулу двойного угла: 2sin x cos x = cos x
• Преобразуем: 2sin x cos x - cos x = 0
• Выносим cos x за скобки: cos x(2sin x - 1) = 0
• Получаем два случая:
\[\cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in Z\] \[2 \sin x - 1 = 0 \Rightarrow \sin x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n, x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi m, n, m \in Z\]
• Проверяем корни:
\[x = \frac{\pi}{2} + \pi k\] (не подходит, так как cos x = 0, и lg(cos x) не определен) \[x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n \Rightarrow \lg(\sin(\frac{\pi}{3})) = \lg(\cos(\frac{\pi}{6})) \Rightarrow \lg(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \lg(\frac{\sqrt{3}}{2})\] (верно) \[x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi m \Rightarrow \lg(\sin(\frac{5\pi}{3})) = \lg(\cos(\frac{5\pi}{6})) \Rightarrow \lg(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \lg(-\frac{\sqrt{3}}{2})\] (не подходит, так как синус отрицателен)
• Ответ: x = π/6 + 2πn, n ∈ Z
5. x² + x + lg(sin x) = 1 + lg(sin x)
• Упрощаем уравнение: x² + x = 1
• Приводим к виду: x² + x - 1 = 0
• Решаем квадратное уравнение:
\[D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 1 + 4 = 5\] \[x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}\]
• Проверяем корни:
\[x_1 = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2} \approx 0.618\] \[x_2 = \frac{-1 - \sqrt{5}}{2} \approx -1.618\] (не подходит, так как sin x должен быть положительным)
• Ответ: x = (-1 + √5)/2

Ответ: Решения уравнений представлены выше.