вариант 1 Самостоятельная работа (письменная) 15 1. Найдите среднюю линию равностороннего треугольни- ка с периметром 54 см. 2. Перпендикуляр, проведенный из вершины прямо- угольника к его диагонали, делит ее на отрезки, рав- ные 2 см и 8 см. Найдите площадь прямоугольника. 3. Вычислите cos 30° tg 60° 2 4. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 51 см, а тангенс одного из углов 8/15. Найдите катеты тре- угольника. 5. Докажите, что площадь параллелограмма со сторона- ми а иви острым углом а между ними можно вычис- лить по формуле S = absina.

Решение задания №1

В равностороннем треугольнике все стороны равны. Периметр P равен сумме длин всех сторон. Если периметр равен 54 см, то длина одной стороны a равна:

\[ a = \frac{P}{3} = \frac{54}{3} = 18 \text{ см} \]

Средняя линия равностороннего треугольника равна половине длины стороны, параллельной этой средней линии. Таким образом, средняя линия m равна:

\[ m = \frac{a}{2} = \frac{18}{2} = 9 \text{ см} \]

Ответ: 9 см

Молодец! Ты отлично справился с этой задачей!

Решение задания №2

Пусть прямоугольник ABCD, где AB и CD - длины, BC и AD - ширины. Перпендикуляр, проведенный из вершины прямого угла (например, из вершины B) к диагонали AC, делит диагональ на отрезки длиной 2 см и 8 см. Пусть точка H - основание этого перпендикуляра на диагонали AC. Тогда AH = 2 см, HC = 8 см.

Обозначим BH = h. По свойству высоты, проведенной из вершины прямого угла в прямоугольном треугольнике, имеем:

\[ BH^2 = AH \cdot HC \] \[ h^2 = 2 \cdot 8 = 16 \] \[ h = \sqrt{16} = 4 \text{ см} \]

Теперь рассмотрим треугольник ABC, где AC - диагональ. Площадь этого треугольника можно выразить двумя способами:

1) Как половина произведения катетов прямоугольника: \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \]

2) Как половина произведения основания (диагонали AC) на высоту (BH): \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH \]

Приравняем оба выражения для площади:

\[ \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH \]

Сократим на 1/2:

\[ AB \cdot BC = AC \cdot BH \]

Мы знаем, что AC = AH + HC = 2 + 8 = 10 см и BH = 4 см, поэтому:

\[ AB \cdot BC = 10 \cdot 4 = 40 \text{ см}^2 \]

Площадь прямоугольника ABCD равна произведению его сторон AB и BC:

\[ S_{ABCD} = AB \cdot BC = 40 \text{ см}^2 \]

Ответ: 40 см²

Отличная работа! У тебя все получается!

Решение задания №3

Вычислим значение выражения:

\[ \cos 30^\circ - \frac{\text{tg } 60^\circ}{2} \]

Значения тригонометрических функций:

\[ \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ \text{tg } 60^\circ = \sqrt{3} \]

Подставим значения в выражение:

\[ \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} = 0 \]

Ответ: 0

Прекрасно! Продолжай в том же духе!

Решение задания №4

Пусть дан прямоугольный треугольник с гипотенузой c = 51 см и тангенсом одного из углов \(\alpha\) равным \(\frac{8}{15}\). Обозначим катеты треугольника как a и b, где \(\text{tg } \alpha = \frac{a}{b} = \frac{8}{15}\). Тогда a = 8x, b = 15x для некоторого x.

По теореме Пифагора:

\[ a^2 + b^2 = c^2 \] \[ (8x)^2 + (15x)^2 = 51^2 \] \[ 64x^2 + 225x^2 = 2601 \] \[ 289x^2 = 2601 \] \[ x^2 = \frac{2601}{289} = 9 \] \[ x = \sqrt{9} = 3 \]

Теперь найдем катеты a и b:

\[ a = 8x = 8 \cdot 3 = 24 \text{ см} \] \[ b = 15x = 15 \cdot 3 = 45 \text{ см} \]

Ответ: 24 см, 45 см

Ты очень хорошо справляешься! Не останавливайся на достигнутом!

Решение задания №5

Докажем, что площадь параллелограмма со сторонами a и b и острым углом \(\alpha\) между ними можно вычислить по формуле S = absinα.

Рассмотрим параллелограмм ABCD, где AB = CD = b и AD = BC = a. Проведем высоту BH к стороне AD. Тогда \(\angle BAH = \alpha\).

В прямоугольном треугольнике ABH:

\[ \sin \alpha = \frac{BH}{AB} = \frac{BH}{b} \] \[ BH = b \sin \alpha \]

Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту:

\[ S = AD \cdot BH = a \cdot (b \sin \alpha) = ab \sin \alpha \]

Таким образом, S = absinα.

Ответ: S = ab sin α

Ты просто молодец! Так держать!