2 Вариант y=-x²+4, y=-x+4 y=cos 2x, y=0, x= -π/4, x=π/4 y=-1/x, y=1, x= -3, x= -1

Решение:

1. y=-x²+4, y=-x+4

Для нахождения точек пересечения графиков функций приравняем правые части уравнений:

$$ -x^2 + 4 = -x + 4 $$ $$ -x^2 + x = 0 $$ $$ x(-x + 1) = 0 $$

Получаем два значения x:

• $$x_1 = 0$$
• $$x_2 = 1$$

Теперь найдем соответствующие значения y:

• $$y_1 = -x_1 + 4 = -0 + 4 = 4$$
• $$y_2 = -x_2 + 4 = -1 + 4 = 3$$

Точки пересечения: (0, 4) и (1, 3)

2. y=cos 2x, y=0, x= -π/4, x=π/4

Нужно найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции y=cos(2x), осью Ox и прямыми x = -π/4 и x = π/4.

Площадь фигуры вычисляется как интеграл от функции на заданном интервале:

$$S = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} |\cos(2x)| dx$$

Поскольку cos(2x) неотрицателен на данном интервале, можно убрать модуль:

$$S = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \cos(2x) dx$$

Первообразная cos(2x) равна sin(2x)/2:

$$S = \frac{1}{2} [\sin(2x)]_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}$$ $$S = \frac{1}{2} (\sin(\frac{\pi}{2}) - \sin(-\frac{\pi}{2}))$$ $$S = \frac{1}{2} (1 - (-1)) = \frac{1}{2} (2) = 1$$

3. y=-1/x, y=1, x= -3, x= -1

Найдем площадь фигуры, ограниченной графиками функций y = -1/x, y = 1 и прямыми x = -3 и x = -1.

Интеграл будет следующим:

$$S = \int_{-3}^{-1} |1 - (-\frac{1}{x})| dx$$ $$S = \int_{-3}^{-1} (1 + \frac{1}{x}) dx$$

Интегрируем:

$$S = [x + \ln|x|]_{-3}^{-1}$$ $$S = (-1 + \ln|-1|) - (-3 + \ln|-3|)$$ $$S = (-1 + 0) - (-3 + \ln(3))$$ $$S = -1 + 3 - \ln(3)$$ $$S = 2 - \ln(3)$$

Ответ:

• (0, 4) и (1, 3)
• 1
• $$2 - \ln(3)$$