1 вариант Задачи для самостоятельной работы по теме: «Теорема о трех перпендикулярах» 1. Угол С треугольника АВС- прямой. AD- перпендикуляр к плоскости треугольника АВС. Докажите, что треугольник BCD- прямоугольный. 2. ABCD- квадрат, диагонали которого пересекаются в точке Е. АН- перпендикуляр к плоскости квадрата. Докажите, что прямые НЕи BD перпендикулярны. 3. Из вершины А квадрата ABCD со стороной 16 см восстановлен перпендикуляр АЕ длиной 12 см. докажите, что треугольник ВСЕ- прямоугольный. Найдите его площадь. 4. Из центра О квадрата ABCD со стороной 18 см к его плоскости восстановлен перпендикуляр ОМ длиной 12 см. Найдите площадь треугольника АBM 5. Отрезок АМ перпендикулярен плоскости треугольника АВС и имеет длину 24 см. Найдите расстояние от точки М до прямой ВС, если АВ=АС=20 см., ВС=24 см. 6. В правильном треугольнике АВС точка О- центр. ОМ- перпендикуляр к плоскостиАВС. Найдите расстояние от точки М до стороны АВ, если АВ=10см., ОМ=5см. 2вариант 1. Угол С треугольника МРС- прямой. MD- перпендикуляр к плоскости треугольника МРС. Покажите, что треугольник PCD- прямоугольный. 2. ADCD- квадрат, диагонали которого пересекаются в точке О. АН- перпендикуляр к плоскости

1 вариант

1. Угол С треугольника ABC - прямой, AD - перпендикуляр к плоскости треугольника ABC. Докажите, что треугольник BCD - прямоугольный.

Решение:

Так как AD перпендикулярна плоскости ABC, то AD перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Следовательно, AD перпендикулярна BC. Так как угол ACB прямой, то BC перпендикулярна AC. Итак, BC перпендикулярна AD и AC, значит, BC перпендикулярна плоскости ADC. Отсюда следует, что BC перпендикулярна DC, а значит, угол BCD прямой, и треугольник BCD - прямоугольный.

Ответ: доказано, что треугольник BCD - прямоугольный.

2. ABCD - квадрат, диагонали которого пересекаются в точке Е. AH - перпендикуляр к плоскости квадрата. Докажите, что прямые HE и BD перпендикулярны.

Решение:

Так как ABCD - квадрат, то BD перпендикулярна AC. Так как AH перпендикулярна плоскости квадрата, то AH перпендикулярна BD. Следовательно, BD перпендикулярна плоскости AHC. Так как HE лежит в плоскости AHC, то BD перпендикулярна HE.

Ответ: доказано, что прямые HE и BD перпендикулярны.

3. Из вершины А квадрата ABCD со стороной 16 см восстановлен перпендикуляр AE длиной 12 см. Докажите, что треугольник BCE - прямоугольный. Найдите его площадь.

Решение:

Так как AE перпендикулярна плоскости ABCD, то AE перпендикулярна BC. Так как ABCD - квадрат, то BC перпендикулярна AB. Следовательно, BC перпендикулярна плоскости ABE. Значит, BC перпендикулярна BE, а значит, треугольник BCE - прямоугольный. Найдем площадь треугольника BCE. BE = √(AE² + AB²) = √(12² + 16²) = √(144 + 256) = √400 = 20 см. S = 1/2 * BC * BE = 1/2 * 16 * 20 = 160 см².

Ответ: доказано, что треугольник BCE - прямоугольный; его площадь равна 160 см².

4. Из центра O квадрата ABCD со стороной 18 см к его плоскости восстановлен перпендикуляр OM длиной 12 см. Найдите площадь треугольника ABM.

Решение:

Так как O - центр квадрата ABCD, то AO = BO = CO = DO = 1/2 * диагональ. Диагональ квадрата равна стороне квадрата, умноженной на √2, то есть 18√2 см. Следовательно, AO = BO = CO = DO = 9√2 см. Так как OM перпендикулярна плоскости квадрата, то OM перпендикулярна AO и BO. Треугольник AMO - прямоугольный. AM = √(AO² + OM²) = √((9√2)² + 12²) = √(162 + 144) = √306 см. Треугольник BMO - прямоугольный. BM = √(BO² + OM²) = √((9√2)² + 12²) = √(162 + 144) = √306 см. Площадь треугольника ABM = 1/2 * AB * h. h = √(AM² - (AB/2)²) = √(306 - (18/2)²) = √(306 - 81) = √225 = 15 см. S = 1/2 * 18 * 15 = 135 см².

Ответ: площадь треугольника ABM равна 135 см².

5. Отрезок AM перпендикулярен плоскости треугольника ABC и имеет длину 24 см. Найдите расстояние от точки M до прямой BC, если AB = AC = 20 см, BC = 24 см.

Решение:

Пусть AD - высота треугольника ABC, проведенная к BC. Так как треугольник ABC равнобедренный, то AD также медиана, и BD = DC = 12 см. AD = √(AB² - BD²) = √(20² - 12²) = √(400 - 144) = √256 = 16 см. Так как AM перпендикулярен плоскости ABC, то AM перпендикулярен BC. Следовательно, BC перпендикулярен плоскости AMD. MD = √(AM² + AD²) = √(24² + 16²) = √(576 + 256) = √832 = 8√13 см. Так как BC перпендикулярен плоскости AMD, то расстояние от точки M до прямой BC равно MD.

Ответ: расстояние от точки M до прямой BC равно 8√13 см.

6. В правильном треугольнике ABC точка O - центр. OM - перпендикуляр к плоскости ABC. Найдите расстояние от точки M до стороны AB, если AB = 10 см, OM = 5 см.

Решение:

Пусть OD - перпендикуляр от точки O к стороне AB. Так как точка O - центр правильного треугольника, то OD = 1/3 * высота. Высота в правильном треугольнике равна стороне, умноженной на √3 и деленной на 2, то есть 10√3/2 = 5√3 см. Следовательно, OD = 5√3/3 см. Так как OM перпендикулярен плоскости ABC, то OM перпендикулярен OD. MD = √(OM² + OD²) = √(5² + (5√3/3)²) = √(25 + 25*3/9) = √(25 + 25/3) = √(75/3 + 25/3) = √(100/3) = 10/√3 = 10√3/3 см. Так как OM перпендикулярна плоскости ABC, а значит, плоскость MDO перпендикулярна AB, то MD - расстояние от точки M до стороны AB.

Ответ: расстояние от точки M до стороны AB равно 10√3/3 см.

2 вариант

1. Угол С треугольника MPC - прямой, MD - перпендикуляр к плоскости треугольника MPC. Покажите, что треугольник PCD - прямоугольный.

Решение:

Так как MD перпендикулярна плоскости MPC, то MD перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Следовательно, MD перпендикулярна PC. Так как угол MCP прямой, то PC перпендикулярна MC. Итак, PC перпендикулярен MD и MC, значит, PC перпендикулярен плоскости MDC. Отсюда следует, что PC перпендикулярен DC, а значит, угол PCD прямой, и треугольник PCD - прямоугольный.

Ответ: доказано, что треугольник PCD - прямоугольный.

2. ADCD - квадрат, диагонали которого пересекаются в точке O. AH - перпендикуляр к плоскости