Васе и его сестре Маше вместе 26 лет, причём Маше в 3 раза меньше лет, чем будет Васе тогда, когда им вместе будет в 5 раз больше, чем Васе сейчас. Сколько сейчас лет каждому из них?

Дано:

Возраст Васи + Возраст Маши = 26 лет (сейчас).

Пусть x - возраст Васи сейчас, y - возраст Маши сейчас.

x + y = 26

Пусть через n лет:

Возраст Васи будет x + n.

Возраст Маши будет y + n.

Условие 1: y = (x + n) / 3 (Маше будет в 3 раза меньше лет, чем Васе тогда).

Условие 2: (x + n) + (y + n) = 5x (Вместе им будет в 5 раз больше, чем Васе сейчас).

Найти: x и y.

Решение:

1. Из Условия 2 выразим n:
   \[ (x + n) + (y + n) = 5x \]
   \[ x + y + 2n = 5x \]
   Подставим x + y = 26:
   \[ 26 + 2n = 5x \]
   \[ 2n = 5x - 26 \]
   \[ n = \frac{5x - 26}{2} \]
2. Теперь подставим это значение n в Условие 1:
   \[ y = \frac{x + n}{3} \]
   \[ y = \frac{x + \frac{5x - 26}{2}}{3} \]
   Упростим числитель:
   \[ x + \frac{5x - 26}{2} = \frac{2x}{2} + \frac{5x - 26}{2} = \frac{2x + 5x - 26}{2} = \frac{7x - 26}{2} \]
   Теперь подставим упрощенный числитель обратно:
   \[ y = \frac{\frac{7x - 26}{2}}{3} = \frac{7x - 26}{6} \]
3. Теперь у нас есть два уравнения с двумя неизвестными x и y:
   1. \[ x + y = 26 \]
   2. \[ y = \frac{7x - 26}{6} \]
   Подставим выражение для y из уравнения (b) в уравнение (a):
   \[ x + \frac{7x - 26}{6} = 26 \]
   Умножим обе части уравнения на 6, чтобы избавиться от дроби:
   \[ 6x + (7x - 26) = 26 \times 6 \]
   \[ 6x + 7x - 26 = 156 \]
   \[ 13x - 26 = 156 \]
   \[ 13x = 156 + 26 \]
   \[ 13x = 182 \]
   \[ x = \frac{182}{13} \]
   \[ x = 14 \]
4. Найдем возраст Маши (y):
   Используем уравнение x + y = 26:
   \[ 14 + y = 26 \]
   \[ y = 26 - 14 \]
   \[ y = 12 \]
5. Проверим полученные значения:
   Васе сейчас 14 лет, Маше - 12 лет. Вместе им 14 + 12 = 26 лет. (Верно)
   Через сколько лет это произойдет? Найдем n:
   \[ n = \frac{5x - 26}{2} = \frac{5 \times 14 - 26}{2} = \frac{70 - 26}{2} = \frac{44}{2} = 22 \] года.
   Через 22 года Васе будет: 14 + 22 = 36 лет.
   Через 22 года Маше будет: 12 + 22 = 34 года.
   Суммарный возраст в будущем: 36 + 34 = 70 лет.
   Проверим Условие 2: 5 * (возраст Васи сейчас) = 5 * 14 = 70 лет. (Верно)
   Проверим Условие 1: Маше будет 34 года, Васе будет 36 лет. Будет ли Маше в 3 раза меньше лет, чем Васе? 36 / 3 = 12. Нет, 34 не равно 12.

Снова ошибка в интерпретации. Попробуем иначе.

«причём Маше в 3 раза меньше лет, чем будет Васе тогда, когда им вместе будет в 5 раз больше, чем Васе сейчас.»

Это означает, что сейчас возраст Маши (y) в 3 раза меньше, чем возраст Васи в будущем (x+n).

1. x + y = 26 (сейчас)

2. y = (x + n) / 3 (Маше сейчас в 3 раза меньше, чем Васе тогда).

3. (x + n) + (y + n) = 5x (Вместе им будет в 5 раз больше, чем Васе сейчас).

Решение:

1. Из (3) выразим n:
   \[ 26 + 2n = 5x \]
   \[ n = \frac{5x - 26}{2} \]
2. Подставим n в (2):
   \[ y = \frac{x + \frac{5x - 26}{2}}{3} = \frac{\frac{2x + 5x - 26}{2}}{3} = \frac{7x - 26}{6} \]
3. Система уравнений:
   1. \[ x + y = 26 \]
   2. \[ y = \frac{7x - 26}{6} \]
   Подставляем (b) в (a):
   \[ x + \frac{7x - 26}{6} = 26 \]
   \[ 6x + 7x - 26 = 156 \]
   \[ 13x = 182 \]
   \[ x = 14 \]
4. Найдем y:
   \[ y = 26 - 14 = 12 \]
5. Найдем n:
   \[ n = \frac{5 \times 14 - 26}{2} = \frac{70 - 26}{2} = \frac{44}{2} = 22 \]
6. Проверим:
   Сейчас: Васе 14, Маше 12. Вместе 26. (Верно).
   Через 22 года: Васе 14+22=36, Маше 12+22=34.
   Условие 1: y = (x + n) / 3 -> 12 = (14 + 22) / 3 -> 12 = 36 / 3 -> 12 = 12. (Верно).
   Условие 2: (x + n) + (y + n) = 5x -> (14 + 22) + (12 + 22) = 5 * 14 -> 36 + 34 = 70 -> 70 = 70. (Верно).

Ответ: Васе сейчас 14 лет, Маше сейчас 12 лет.