Вася хочет приблизить функцию f(x) = x^2 линейной функцией. Для этого он берет касательную к графику в точке x0 = 0, а ошибку проверяет на точках: x0 = -1, 0, 1, 2. Ошибка считается по МАЕ – средний модуль разности между настоящим значением функции и аппроксимацией. Чему равен МАЕ?

Решение:

Функция: \( f(x) = x^2 \)

Линейная аппроксимация — это касательная к графику функции в точке \( x_0 = 0 \). Найдем уравнение касательной.

1. Найдём значение функции и её производной в точке \( x_0 = 0 \):

\( f(0) = 0^2 = 0 \)

Производная функции \( f'(x) = 2x \).

\( f'(0) = 2 \cdot 0 = 0 \)

2. Уравнение касательной (линейной функции) имеет вид \( y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) \).

Подставляем найденные значения:

\( y = 0 + 0(x - 0) \) \( \Rightarrow \) \( y = 0 \)

Итак, линейная аппроксимация функции \( f(x) = x^2 \) в точке \( x_0 = 0 \) — это функция \( g(x) = 0 \).

3. Теперь рассчитаем ошибку по МАЕ (Mean Absolute Error) для заданных точек \( x = -1, 0, 1, 2 \).

МАЕ = \( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} |f(x_i) - g(x_i)| \), где \( n \) — количество точек.

В нашем случае \( n = 4 \).

• Для \( x = -1 \): \( |f(-1) - g(-1)| = |(-1)^2 - 0| = |1 - 0| = 1 \)

• Для \( x = 0 \): \( |f(0) - g(0)| = |0^2 - 0| = |0 - 0| = 0 \)

• Для \( x = 1 \): \( |f(1) - g(1)| = |1^2 - 0| = |1 - 0| = 1 \)

• Для \( x = 2 \): \( |f(2) - g(2)| = |2^2 - 0| = |4 - 0| = 4 \)

4. Рассчитаем средний модуль разности:

МАЕ = \( \frac{1 + 0 + 1 + 4}{4} = \frac{6}{4} = 1.5 \)

Ответ: МАЕ равен 1.5.