Вася в Авито анализирует новый блок рекомендаций в карточке объявления. Пусть X — число продавцов, которым случайный пользователь написал за день после просмотра этого блока. Известно, что: E(X) = m, D(X) = d. Помогите Васе найти оценку снизу на вероятность того, что пользователь написал хотя бы одному продавцу. Ответ округлять необязательно. Допустимая погрешность ±10⁻². Пусть m = 0.61, d = 1.06.

Решение:

Чтобы найти оценку снизу на вероятность того, что пользователь написал хотя бы одному продавцу, воспользуемся неравенством Чебышёва. Неравенство Чебышёва гласит:

\[ P(|X - E(X)| \ge k \cdot \sigma) \le \frac{1}{k^2} \]

где \( \sigma \) — стандартное отклонение, \( \sigma = \sqrt{D(X)} \).

Мы хотим найти вероятность того, что пользователь написал хотя бы одному продавцу, то есть \( P(X \ge 1) \).

Перепишем это как \( P(X \ge 1) = 1 - P(X < 1) \).

Для оценки снизу \( P(X \ge 1) \), мы можем использовать следующую формулировку неравенства Чебышёва:

\[ P(X \ge a) \ge 1 - \frac{D(X)}{(a - E(X))^2} \]

В нашем случае:

• \( E(X) = m = 0.61 \)
• \( D(X) = d = 1.06 \)
• \( a = 1 \) (минимальное количество продавцов, которому написали)

Подставим значения в формулу:

\[ P(X \ge 1) \ge 1 - \frac{1.06}{(1 - 0.61)^2} \]

Вычислим знаменатель:

\( (1 - 0.61)^2 = (0.39)^2 = 0.1521 \)

Теперь подставим это обратно:

\( P(X \ge 1) \ge 1 - \frac{1.06}{0.1521} \)

Вычислим дробь:

\( \frac{1.06}{0.1521} \approx 6.969 \)

Теперь вычислим нижнюю границу вероятности:

\( P(X \ge 1) \ge 1 - 6.969 \)

\( P(X \ge 1) \ge -5.969 \)

Поскольку вероятность не может быть отрицательной, минимальная оценка снизу, которую мы можем дать, — это 0. Однако, если \( k \) такое, что \( a - k \cdot \sigma < 0 \), то для \( P(X \ge a) \) оценка Чебышева может быть неинформативной (дать отрицательную нижнюю границу).

Давайте используем более прямое применение неравенства Чебышева для \( P(X < 1) \):

\( P(X < 1) = P(1 - X > 0) \)

Нам нужна оценка для \( P(X \ge 1) \).

Используем форму \( P(X \ge c) \ge \frac{(E(X) - c)^2}{D(X) + (E(X) - c)^2} \) для \( c=1 \).

\( P(X \ge 1) \ge \frac{(0.61 - 1)^2}{1.06 + (0.61 - 1)^2} \)

\( P(X \ge 1) \ge \frac{(-0.39)^2}{1.06 + (-0.39)^2} \)

\( P(X \ge 1) \ge \frac{0.1521}{1.06 + 0.1521} \)

\( P(X \ge 1) \ge \frac{0.1521}{1.2121} \)

Вычислим значение:

\( \frac{0.1521}{1.2121} \approx 0.12548 \)

Округлим до допустимой погрешности \( \pm 10^{-2} \).

\( 0.12548 \approx 0.13 \)

Ответ: 0.13