ВАЯ КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА ПО ГЕОМЕТРИИ Вариант А2 1. Диагональ ромба равна 30 см, а сторона - 17 см. Найдите площадь ромба. 2. Сумма оснований трапеции равна 30 см. Диагональ трапеции точкой пересечения с другой диагональю делится в отношении 2:7. Найдите основания трапеции. 3. Хорда длиной 30 см, перпендикулярная диаметру, делить его в отношении 1:9. Найдите диаметр окружности.

Вариант А2

1. Площадь ромба

1. Дано:


• Диагональ \( d_1 = 30 \) см.
• Сторона \( a = 17 \) см.


2. Найти: Площадь ромба \( S \).


3. Решение:


• В ромбе диагонали делятся точкой пересечения пополам и перпендикулярны друг другу. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный половинами диагоналей и стороной ромба.
• Половины диагоналей: \( \frac{d_1}{2} = \frac{30}{2} = 15 \) см.
• Вторая диагональ \( d_2 \) находится по теореме Пифагора: \( \left(\frac{d_2}{2}\right)^2 = a^2 - \left(\frac{d_1}{2}\right)^2 = 17^2 - 15^2 = 289 - 225 = 64 \) см.
• \( \frac{d_2}{2} = \sqrt{64} = 8 \) см.
• \( d_2 = 2 \cdot 8 = 16 \) см.
• Площадь ромба: \( S = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2} \cdot 30 \cdot 16 = 15 \cdot 16 = 240 \) см².

Ответ: 240 см²

2. Основания трапеции

1. Дано:


• Сумма оснований \( a + b = 30 \) см.
• Точка пересечения диагоналей делит одну диагональ в отношении 2:7.


2. Найти: Основания \( a \) и \( b \).


3. Решение:


• Пусть \( O \) — точка пересечения диагоналей \( AC \) и \( BD \). Пусть \( AO = 2x \) и \( OC = 7x \) (или наоборот).
• Треугольники \( Δ AOB \) и \( Δ COD \) подобны, а также \( Δ BOC \) и \( Δ DOA \) подобны.
• Отношение отрезков одной диагонали равно отношению оснований: \( \frac{AO}{OC} = \frac{a}{b} = \frac{2x}{7x} = \frac{2}{7} \).
• Следовательно, \( a = \frac{2}{7} b \).
• Подставим в уравнение суммы оснований: \( \frac{2}{7} b + b = 30 \).
• \( \frac{9}{7} b = 30 \).
• \( b = 30 \cdot \frac{7}{9} = \frac{10 \cdot 7}{3} = \frac{70}{3} \) см.
• \( a = 30 - b = 30 - \frac{70}{3} = \frac{90 - 70}{3} = \frac{20}{3} \) см.

Ответ: основания трапеции равны \( \frac{20}{3} \) см и \( \frac{70}{3} \) см.

3. Диаметр окружности

1. Дано:


• Хорда \( AB = 30 \) см.
• Хорда делит диаметр в отношении 1:9.


2. Найти: Диаметр \( d \).


3. Решение:


• Пусть \( AB \) — хорда, \( CD \) — диаметр, \( O \) — центр окружности. Пусть \( AB ⊥ CD \) в точке \( M \).
• \( AM = MB = \frac{30}{2} = 15 \) см.
• Пусть \( CM = x \) и \( MD = 9x \) (или наоборот). Диаметр \( d = x + 9x = 10x \).
• По теореме о произведении отрезков пересекающихся хорд (в данном случае хорда \( AB \) и диаметр \( CD \) пересекаются в точке \( M \)): \( AM · MB = CM · MD \).
• \( 15 · 15 = x · 9x \).
• \( 225 = 9x^2 \).
• \( x^2 = \frac{225}{9} = 25 \).
• \( x = 5 \) см.
• Диаметр \( d = 10x = 10 · 5 = 50 \) см.

Ответ: 50 см.