Важно знать: Свойства скалярного произведения векторов Для любых векторов а, б, с и любого числа k справедливы соотношения: 1. a² ≥ 0, причём a² > 0 при а ≠ 0. 2. а⋅б = б⋅а (переместительный закон). 3. (а+b)⋅с = а⋅с + b⋅с (распределительный закон). 4. (ка)⋅б = k(а⋅б) (сочетательный закон). Задание 55. Вычислите скалярное произведение, зная координаты векторов а, б и с: а {5; 1} б {2; -4} с {-1; 3}. 1) а ⋅ (b + c) Ответ: 4. 2) б ⋅ (a + c) Ответ: 3) с ⋅ (a + b) Ответ: 4) а ⋅ (b - c) Ответ: 5) б ⋅ (a - c) Ответ: 6) с ⋅ (b - a) Ответ: 7) 2а ⋅ 2b Ответ: 8) 3с ⋅ 1/2 b Ответ:

Анализ задачи:

В задаче нужно вычислить скалярное произведение векторов, используя их координаты и свойства скалярного произведения.

Дано:

• Вектор а = {5; 1}
• Вектор б = {2; -4}
• Вектор с = {-1; 3}

Задание 55, пункт 1) уже решен в примере:

а ⋅ (b + c)

1. Находим сумму векторов (b + c):
   b + c = {2 + (-1); -4 + 3} = {1; -1}
2. Вычисляем скалярное произведение а ⋅ (b + c):
   а ⋅ (b + c) = {5; 1} ⋅ {1; -1} = 5 * 1 + 1 * (-1) = 5 - 1 = 4

Теперь решим остальные пункты:

1. Пункт 2) б ⋅ (a + c)
   
   • Находим сумму векторов (a + c):
     a + c = {5 + (-1); 1 + 3} = {4; 4}
   • Вычисляем скалярное произведение б ⋅ (a + c):
     б ⋅ (a + c) = {2; -4} ⋅ {4; 4} = 2 * 4 + (-4) * 4 = 8 - 16 = -8
2. Пункт 3) с ⋅ (a + b)
   
   • Находим сумму векторов (a + b):
     a + b = {5 + 2; 1 + (-4)} = {7; -3}
   • Вычисляем скалярное произведение с ⋅ (a + b):
     с ⋅ (a + b) = {-1; 3} ⋅ {7; -3} = (-1) * 7 + 3 * (-3) = -7 - 9 = -16
3. Пункт 4) а ⋅ (b - c)
   
   • Находим разность векторов (b - c):
     b - c = {2 - (-1); -4 - 3} = {3; -7}
   • Вычисляем скалярное произведение а ⋅ (b - c):
     а ⋅ (b - c) = {5; 1} ⋅ {3; -7} = 5 * 3 + 1 * (-7) = 15 - 7 = 8
4. Пункт 5) б ⋅ (a - c)
   
   • Находим разность векторов (a - c):
     a - c = {5 - (-1); 1 - 3} = {6; -2}
   • Вычисляем скалярное произведение б ⋅ (a - c):
     б ⋅ (a - c) = {2; -4} ⋅ {6; -2} = 2 * 6 + (-4) * (-2) = 12 + 8 = 20
5. Пункт 6) с ⋅ (b - a)
   
   • Находим разность векторов (b - a):
     b - a = {2 - 5; -4 - 1} = {-3; -5}
   • Вычисляем скалярное произведение с ⋅ (b - a):
     с ⋅ (b - a) = {-1; 3} ⋅ {-3; -5} = (-1) * (-3) + 3 * (-5) = 3 - 15 = -12
6. Пункт 7) 2а ⋅ 2b
   
   • Используем свойство сочетательности: 2а ⋅ 2b = (2 * 2) * (а ⋅ b) = 4 * (а ⋅ b)
   • Находим скалярное произведение а ⋅ b:
     а ⋅ b = {5; 1} ⋅ {2; -4} = 5 * 2 + 1 * (-4) = 10 - 4 = 6
   • Вычисляем 4 * (а ⋅ b):
     4 * 6 = 24
7. Пункт 8) 3с ⋅ 1/2 b
   
   • Используем свойство сочетательности: 3с ⋅ 1/2 b = (3 * 1/2) * (с ⋅ b) = 3/2 * (с ⋅ b)
   • Находим скалярное произведение с ⋅ b:
     с ⋅ b = {-1; 3} ⋅ {2; -4} = (-1) * 2 + 3 * (-4) = -2 - 12 = -14
   • Вычисляем 3/2 * (с ⋅ b):
     3/2 * (-14) = 3 * (-7) = -21

Ответ:

• 2) -8
• 3) -16
• 4) 8
• 5) 20
• 6) -12
• 7) 24
• 8) -21