Вдоль железной дороги по одну сторону от неё расположены два села М и Т. Может ли на железной дороге быть больше одной остановки Р между селами, такой, чтобы расстояния от остановки до сёл М и Т были бы одинаковыми?

Решение:

Нет, не может.

Обоснование: Геометрическое место точек (ГМТ), равноудаленных от двух данных точек (сёл М и Т), является серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему эти точки. Железная дорога – это прямая линия. Если эта прямая линия не является серединным перпендикуляром к отрезку МТ, то она пересечет его только в одной точке. Если же железная дорога совпадает с серединным перпендикуляром, то все точки на дороге равноудалены от М и Т. Однако, условие гласит, что остановка Р должна быть между селами. Это значит, что точка Р должна лежать на отрезке МТ. Серединный перпендикуляр к отрезку пересекает сам отрезок только в одной точке — его середине. Таким образом, существует только одна такая точка Р на железной дороге, которая является серединой отрезка МТ.