Ведро, полностью заполненное водой, при подвешивании к пружине, растягивает ее на 6 см. Если это ведро полностью заполнить керосином, то пружина растянется на 5 см. Объем ведра 5 литров. Определите массу пустого ведра. Плотность воды 1000 кг/м³, плотность керосина 800 кг/м³.

Решение:

Обозначим:

• \(m_{в}\) — масса пустого ведра, кг;
• \(V\) — объем ведра, м³;
• \(\rho_{в}\) — плотность воды, \(1000 \text{ кг/м}^3\);
• \(\rho_{к}\) — плотность керосина, \(800 \text{ кг/м}^3\);
• \(k\) — жесткость пружины, Н/м;
• \(l_{в}\) — удлинение пружины с водой, \(0.06 \text{ м}\);
• \(l_{к}\) — удлинение пружины с керосином, \(0.05 \text{ м}\);
• \(g \approx 9.8 \text{ м/с}^2\) — ускорение свободного падения.

Объем ведра в кубических метрах:

\(V = 5 \text{ л} = 5 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3\)

Запишем условие равновесия для ведра с водой:

\( (m_{в} + m_{воды})g = k \cdot l_{в} \)

Масса воды: \( m_{воды} = \cdot \rho_{в} \cdot V \)

\( (m_{в} + \cdot \rho_{в} \cdot V)g = k \cdot l_{в} \) (1)

Запишем условие равновесия для ведра с керосином:

\( (m_{в} + m_{керосина})g = k \cdot l_{к} \)

Масса керосина: \( m_{керосина} = \cdot \rho_{к} \cdot V \)

\( (m_{в} + \cdot \rho_{к} \cdot V)g = k \cdot l_{к} \) (2)

Выразим \(k\) из уравнения (1) и подставим в уравнение (2):

\( k = \frac{(m_{в} + \cdot \rho_{в} \cdot V)g}{l_{в}} \)

\( (m_{в} + \cdot \rho_{к} \cdot V)g = \frac{(m_{в} + \cdot \rho_{в} \cdot V)g}{l_{в}} \cdot l_{к} \)

Сократим \(g\) и раскроем скобки:

\( m_{в} + \cdot \rho_{к} \cdot V = \frac{m_{в} \cdot l_{к} + \cdot \rho_{в} \cdot V \cdot l_{к}}{l_{в}} \)

\( m_{в} \cdot l_{в} + \cdot \rho_{к} \cdot V \cdot l_{в} = m_{в} \cdot l_{к} + \cdot \rho_{в} \cdot V \cdot l_{к} \)

Сгруппируем члены с \(m_{в}\):

\( m_{в} \cdot l_{в} - m_{в} \cdot l_{к} = \cdot \rho_{в} \cdot V \cdot l_{к} - \cdot \rho_{к} \cdot V \cdot l_{в} \)

\( m_{в} (l_{в} - l_{к}) = V (\cdot \rho_{в} \cdot l_{к} - \cdot \rho_{к} \cdot l_{в}) \)

Выразим \(m_{в}\):

\( m_{в} = \frac{V (\cdot \rho_{в} \cdot l_{к} - \cdot \rho_{к} \cdot l_{в})}{l_{в} - l_{к}} \)

Подставим значения:

\( m_{в} = \frac{5 \cdot 10^{-3} \cdot (1000 \cdot 0.05 - 800 \cdot 0.06)}{0.06 - 0.05} \)

\( m_{в} = \frac{5 \cdot 10^{-3} \cdot (50 - 48)}{0.01} \)

\( m_{в} = \frac{5 \cdot 10^{-3} \cdot 2}{0.01} = \frac{10 \cdot 10^{-3}}{0.01} = \frac{0.01}{0.01} = 1 \) кг.

Ответ: 1 кг.