Вектор \( \vec{d}=(1,1,-4) \) является

Решение:

Вектор \( \vec{d}=(1,1,-4) \) может быть направляющим вектором прямой или нормальным вектором плоскости. Проверим предложенные варианты.

• Вариант 1: Направляющий вектор прямой \( \frac{x-1}{1} = \frac{y-1}{1} = \frac{z+4}{-1} \). Координаты направляющего вектора совпадают с числами в знаменателях уравнений прямой. Таким образом, направляющий вектор прямой равен \( (1, 1, -1) \). Наш вектор \( \vec{d}=(1,1,-4) \) не совпадает с этим вектором.
• Вариант 2: Нормальный вектор плоскости \( (x-1) + (y-1) - 4z = 0 \). Коэффициенты при \( x, y, z \) в уравнении плоскости образуют нормальный вектор. Нормальный вектор плоскости равен \( (1, 1, -4) \). Наш вектор \( \vec{d}=(1,1,-4) \) совпадает с этим вектором.
• Вариант 3: Направляющий вектор прямой, заданной параметрически: \( \begin{cases} x = 1-\lambda \\ y = 1-\lambda \\ z = -4-\lambda \end{cases} \). Уравнения прямой можно переписать в виде: \( \frac{x-1}{-1} = \frac{y-1}{-1} = \frac{z-(-4)}{-1} \). Направляющий вектор этой прямой равен \( (-1, -1, -1) \). Наш вектор \( \vec{d}=(1,1,-4) \) не совпадает с этим вектором.
• Вариант 4: Нормальный вектор плоскости \( x + y - 4 = 0 \). Нормальный вектор этой плоскости равен \( (1, 1, 0) \). Наш вектор \( \vec{d}=(1,1,-4) \) не совпадает с этим вектором.

Ответ: нормальным вектором плоскости \( (x-1) + (y-1) - 4z = 0 \).