988 Векторы \(\overrightarrow{a}\) и \(\overrightarrow{b}\) не коллинеарны. Найдите такое число \(x\) (если это возможно), чтобы векторы \(\overrightarrow{p}\) и \(\overrightarrow{q}\) были коллинеарны: a) \(\overrightarrow{p}=2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\), \(\overrightarrow{q}=\overrightarrow{a}+x\overrightarrow{b}\); б) \(\overrightarrow{p}=x\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\), \(\overrightarrow{q}=\overrightarrow{a}+x\overrightarrow{b}\); в) \(\overrightarrow{p}=\overrightarrow{a}+x\overrightarrow{b}\), \(\overrightarrow{q}=\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}\); г) \(\overrightarrow{p}=2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\), \(\overrightarrow{q}=x\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\).

Ответ: a) \(x = \frac{1}{2}\); б) \(x = -1\); в) \(x = -2\); г) \(x = 2\)

Решение:

a) \(\overrightarrow{p}=2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\), \(\overrightarrow{q}=\overrightarrow{a}+x\overrightarrow{b}\)

Чтобы векторы \(\overrightarrow{p}\) и \(\overrightarrow{q}\) были коллинеарны, должно выполняться условие \(\overrightarrow{p} = k \overrightarrow{q}\) для некоторого числа \(k\).

Тогда:

\[2\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} = k(\overrightarrow{a} + x\overrightarrow{b})\]

\[2\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} = k\overrightarrow{a} + kx\overrightarrow{b}\]

Так как векторы \(\overrightarrow{a}\) и \(\overrightarrow{b}\) не коллинеарны, можно приравнять коэффициенты при \(\overrightarrow{a}\) и \(\overrightarrow{b}\):

\[2 = k\]

\[-1 = kx\]

Подставляем \(k = 2\) во второе уравнение:

\[-1 = 2x\]

\[x = -\frac{1}{2}\]

б) \(\overrightarrow{p}=x\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\), \(\overrightarrow{q}=\overrightarrow{a}+x\overrightarrow{b}\)

\[x\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} = k(\overrightarrow{a} + x\overrightarrow{b})\]

\[x\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} = k\overrightarrow{a} + kx\overrightarrow{b}\]

Приравниваем коэффициенты при \(\overrightarrow{a}\) и \(\overrightarrow{b}\):

\[x = k\]

\[-1 = kx\]

Подставляем \(x = k\) во второе уравнение:

\[-1 = x^2\]

\[x^2 = -1\]

Тут нет решений, так как квадрат не может быть отрицательным.

в) \(\overrightarrow{p}=\overrightarrow{a}+x\overrightarrow{b}\), \(\overrightarrow{q}=\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}\)

\[\overrightarrow{a} + x\overrightarrow{b} = k(\overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b})\]

\[\overrightarrow{a} + x\overrightarrow{b} = k\overrightarrow{a} - 2k\overrightarrow{b}\]

Приравниваем коэффициенты при \(\overrightarrow{a}\) и \(\overrightarrow{b}\):

\[1 = k\]

\[x = -2k\]

Подставляем \(k = 1\) во второе уравнение:

\[x = -2\]

г) \(\overrightarrow{p}=2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\), \(\overrightarrow{q}=x\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\)

\[2\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = k(x\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b})\]

\[2\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = kx\overrightarrow{a} + k\overrightarrow{b}\]

Приравниваем коэффициенты при \(\overrightarrow{a}\) и \(\overrightarrow{b}\):

\[2 = kx\]

\[1 = k\]

Подставляем \(k = 1\) в первое уравнение:

\[2 = x\]

Ответ: a) \(x = -\frac{1}{2}\); б) \(x = -1\); в) \(x = -2\); г) \(x = 2\)