Векторы а и b неколлинеарны. Найдите значения k, при которых векторы c = ka + 4b и d = a + kb коллинеарны.

Решение:

Два вектора \(\vec{c}\) и \(\vec{d}\) коллинеарны, если один из них можно представить как произведение другого на некоторое число. Пусть это число будет \(m\).

\(\vec{c}\) = m \(\vec{d}\)

\(k\vec{a}\) + \(4\vec{b}\) = m (\(\vec{a}\) + \(k\vec{b}\))

\(k\vec{a}\) + \(4\vec{b}\) = m\(\vec{a}\) + mk\(\vec{b}\)

Так как векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) неколлинеарны, то коэффициенты при них должны быть равны:

\(k = m\) (1)

\(4 = mk\) (2)

Подставим значение \(m\) из уравнения (1) в уравнение (2):

\(4 = k \cdot k\)

\(4 = k^2\)

Отсюда получаем два значения для \(k\):

\(k = 2\) или \(k = -2\).

Ответ: \(k = 2\) или \(k = -2\).