1. Векторы а и в образуют угол (a,b)=27. Зная, что |a|=3, |6 |=4 вычислить: a)ab; 6) (3-26)(a+26); в) (30+26)².

а) Найдём скалярное произведение векторов \[\vec{a}\cdot\vec{b}\]

Известно, что \[\vec{a}\cdot\vec{b} = |\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot cos(\varphi)\]

Угол между векторами \[\varphi = \frac{2\pi}{3}\]

Тогда, \[cos(\frac{2\pi}{3})=-\frac{1}{2}\]

Получаем, что \[\vec{a}\cdot\vec{b} = 3\cdot4\cdot(-\frac{1}{2}) = -6\]

Ответ: -6

б) Вычислим \[(3\vec{a}-2\vec{b})(\vec{a}+2\vec{b})\]

Раскрываем скобки, используя свойства скалярного произведения: \[3\vec{a}^2 + 6(\vec{a}\cdot\vec{b}) - 2(\vec{b}\cdot\vec{a}) - 4\vec{b}^2 = 3\vec{a}^2 + 4(\vec{a}\cdot\vec{b}) - 4\vec{b}^2\]

Находим квадраты модулей векторов: \[\vec{a}^2 = |\vec{a}|^2 = 3^2 = 9\] \[\vec{b}^2 = |\vec{b}|^2 = 4^2 = 16\]

Подставляем известные значения: \[3\cdot9 + 4\cdot(-6) - 4\cdot16 = 27 - 24 - 64 = -61\]

Ответ: -61

в) Вычислим \[(3\vec{a}+2\vec{b})^2\]

Используем формулу квадрата суммы и свойства скалярного произведения: \[(3\vec{a}+2\vec{b})^2 = (3\vec{a})^2 + 2\cdot(3\vec{a})\cdot(2\vec{b}) + (2\vec{b})^2 = 9\vec{a}^2 + 12(\vec{a}\cdot\vec{b}) + 4\vec{b}^2\]

Подставляем известные значения: \[9\cdot9 + 12\cdot(-6) + 4\cdot16 = 81 - 72 + 64 = 73\]

Ответ: 73