Векторы в пространстве

1. Найти координаты векторов $$\vec{AB}$$, $$\vec{BC}$$, $$\vec{CD}$$.
2. Найти линейную комбинацию векторов $$\vec{AB} - 3\vec{BC} + 4\vec{CD}$$.
3. Найти длины векторов $$\vec{AB}$$, $$\vec{BC}$$, $$\vec{CD}$$.
4. Выяснить, коллинеарны ли векторы $$\vec{AB}$$ и $$\vec{CD}$$.
5. Найти расстояние между точками A и C.
6. Найти координаты середины отрезка AB.

Вариант 1 A(2; 3; -1); B(0; 1; 2); C(4; -1; -1); D(2; -3; 1)

Решение:

1. Найдем координаты векторов $$\vec{AB}$$, $$\vec{BC}$$, $$\vec{CD}$$:

   $$\vec{AB} = (0 - 2; 1 - 3; 2 - (-1)) = (-2; -2; 3)$$

   $$\vec{BC} = (4 - 0; -1 - 1; -1 - 2) = (4; -2; -3)$$

   $$\vec{CD} = (2 - 4; -3 - (-1); 1 - (-1)) = (-2; -2; 2)$$

2. Найдем линейную комбинацию векторов $$\vec{AB} - 3\vec{BC} + 4\vec{CD}$$:

   $$\vec{AB} - 3\vec{BC} + 4\vec{CD} = (-2; -2; 3) - 3(4; -2; -3) + 4(-2; -2; 2) = (-2; -2; 3) + (-12; 6; 9) + (-8; -8; 8) = (-2 - 12 - 8; -2 + 6 - 8; 3 + 9 + 8) = (-22; -4; 20)$$

3. Найдем длины векторов $$\vec{AB}$$, $$\vec{BC}$$, $$\vec{CD}$$:

   $$\left| \vec{AB} \right| = \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 4 + 9} = \sqrt{17}$$

   $$\left| \vec{BC} \right| = \sqrt{4^2 + (-2)^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 4 + 9} = \sqrt{29}$$

   $$\left| \vec{CD} \right| = \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4 + 4} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$$

4. Выясним, коллинеарны ли векторы $$\vec{AB}$$ и $$\vec{CD}$$:

   $$\vec{AB} = (-2; -2; 3)$$

   $$\vec{CD} = (-2; -2; 2)$$

   Векторы неколлинеарны, так как не существует такого числа k, что $$\vec{AB} = k \vec{CD}$$.

5. Найдем расстояние между точками A и C:

   $$AC = \sqrt{(4 - 2)^2 + (-1 - 3)^2 + (-1 - (-1))^2} = \sqrt{2^2 + (-4)^2 + 0^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$$

6. Найдем координаты середины отрезка AB:

   $$M = (\frac{2 + 0}{2}; \frac{3 + 1}{2}; \frac{-1 + 2}{2}) = (1; 2; \frac{1}{2})$$

Ответ:

1. $$\vec{AB} = (-2; -2; 3)$$, $$\vec{BC} = (4; -2; -3)$$, $$\vec{CD} = (-2; -2; 2)$$
2. $$\vec{AB} - 3\vec{BC} + 4\vec{CD} = (-22; -4; 20)$$
3. $$\left| \vec{AB} \right| = \sqrt{17}$$, $$\left| \vec{BC} \right| = \sqrt{29}$$, $$\left| \vec{CD} \right| = 2\sqrt{3}$$
4. $$\vec{AB}$$ и $$\vec{CD}$$ неколлинеарны
5. $$AC = 2\sqrt{5}$$
6. $$M = (1; 2; \frac{1}{2})$$