Векторы в пространстве. ІІ вариант Изобразите параллелепипед АBCDA1B1C1D1. 1. Найдите вектор, равный сумме векторов СА1, АD и D1C1. 2. Найдите вектор, равный АВ - AA1 - C1B1. 3. Представьте вектор ВС₁ в виде разности двух векторов, один из которых вектор D₁B. 4. Упростите выражение: LP+MS+EN-MN-PL+SE. 5. Упростите выражение: m+3(2m-n)-2(m-n).

Решение:

1. Сумма векторов $$\vec{CA_1} + \vec{AD} + \vec{D_1C_1} = \vec{CA_1} + \vec{AA_1} + \vec{D_1C_1} = \vec{CA_1} + \vec{AA_1} + \vec{A_1A} = \vec{CA_1} + \vec{AA_1} - \vec{AA_1} = \vec{CA_1}$$.
2. $$\vec{AB} - \vec{AA_1} - \vec{C_1B_1} = \vec{AB} - \vec{AA_1} + \vec{B_1C_1} = \vec{AB} + \vec{B_1C_1} - \vec{AA_1} = \vec{AC_1} - \vec{AA_1} = \vec{A_1C_1}$$.
3. $$\vec{BC_1} = \vec{BC} + \vec{CC_1} = \vec{BC} + \vec{BB_1} = \vec{BA_1} - \vec{A_1C_1}$$.
   Один из векторов $$\vec{D_1B}$$, тогда $$\vec{BC_1} = \vec{D_1B} - \vec{D_1C_1}$$.
4. $$\vec{LP} + \vec{MS} + \vec{EN} - \vec{MN} - \vec{PL} + \vec{SE} = \vec{LP} - \vec{PL} + \vec{MS} + \vec{SE} + \vec{EN} - \vec{MN} = \vec{LP} + \vec{LP} + \vec{ME} + \vec{EN} - \vec{MN} = \vec{LL} + \vec{ME} - \vec{MN} = \vec{ME} - \vec{MN} = \vec{NE}$$.
5. $$\vec{m} + 3(2\vec{m} - \vec{n}) - 2(\vec{m} - \vec{n}) = \vec{m} + 6\vec{m} - 3\vec{n} - 2\vec{m} + 2\vec{n} = 5\vec{m} - \vec{n}$$.

Ответ:

1. $$\vec{CA_1}$$
2. $$\vec{A_1C_1}$$
3. $$\vec{BC_1} = \vec{D_1B} - \vec{D_1C_1}$$
4. $$\vec{NE}$$
5. $$5\vec{m} - \vec{n}$$