Верны ли определения? А) Ряд $\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}$ есть разложение в ряд Маклорена функции $\cos x$ на всей числовой оси. Б) Разложение в ряд Маклорена функции $y=\frac{1}{1+x}$ и область сходимости полученного ряда следующие: $1-x+x^2-x^3+\ldots+(-1)^n x^n+\ldots$, $-\infty<x<\infty$. Подберите правильный ответ.

Question

Верны ли определения? А) Ряд $\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}$ есть разложение в ряд Маклорена функции $\cos x$ на всей числовой оси. Б) Разложение в ряд Маклорена функции $y=\frac{1}{1+x}$ и область сходимости полученного ряда следующие: $1-x+x^2-x^3+\ldots+(-1)^n x^n+\ldots$, $-\infty<x<\infty$. Подберите правильный ответ.

$Фото задания: Верны ли определения? А) Ряд $\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}$ есть разложение в ряд Маклорена функции \(\cos…$ Фото задания

Accepted Answer

А) Ряд $\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}$ — это ряд Маклорена функции $\cos x$. Он сходится при всех действительных $x$, поэтому утверждение А верно.

Б) Для функции $\frac{1}{1+x}$ действительно получается ряд $1-x+x^2-x^3+\ldots$, но его область сходимости определяется условием $|x|<1$, а не всей числовой осью. Утверждение Б неверно.

Ответ: А — да, Б — нет.