Верны ли утверждения? А) Прямая $$\frac{x-1}{0} = \frac{y}{1} = \frac{z}{0}$$ перпендикулярна плоскости ХОУ. В) Прямая $$\frac{x-1}{0} = \frac{y}{1} = \frac{z}{0}$$ параллельна плоскости XOZ. Подберите правильный ответ. Ответы: О А – нет, В – да О А – нет, В – нет О А – да, В – да О А – да, В – нет

Решение:

Для определения верности утверждений, рассмотрим направляющий вектор прямой и нормальный вектор плоскостей.

Утверждение А: Прямая перпендикулярна плоскости ХОУ.

• Направляющий вектор прямой \( \boldsymbol{l} = (0, 1, 0) \).
• Плоскость ХОУ задаётся уравнением \( z = 0 \). Нормальный вектор плоскости \( \boldsymbol{n}_{XOY} = (0, 0, 1) \).
• Прямая перпендикулярна плоскости, если её направляющий вектор коллинеарен нормальному вектору плоскости.
• Сравним \( \boldsymbol{l} \) и \( \boldsymbol{n}_{XOY} \). Векторы \( (0, 1, 0) \) и \( (0, 0, 1) \) не коллинеарны.
• Следовательно, утверждение А неверно.

Утверждение В: Прямая параллельна плоскости XOZ.

• Направляющий вектор прямой \( \boldsymbol{l} = (0, 1, 0) \).
• Плоскость XOZ задаётся уравнением \( y = 0 \). Нормальный вектор плоскости \( \boldsymbol{n}_{XOY} = (0, 1, 0) \).
• Прямая параллельна плоскости, если её направляющий вектор ортогонален нормальному вектору плоскости.
• Проверим скалярное произведение \( \boldsymbol{l} \boldsymbol{ \times } \boldsymbol{n}_{XOY} \): \( (0, 1, 0) \boldsymbol{ \times } (0, 1, 0) = 0 \boldsymbol{ \times } 0 + 1 \boldsymbol{ \times } 1 + 0 \boldsymbol{ \times } 0 = 1 \).
• Так как скалярное произведение не равно нулю, вектор \( \boldsymbol{l} \) не ортогонален вектору \( \boldsymbol{n}_{XOY} \).
• Следовательно, прямая не параллельна плоскости XOZ. Утверждение В неверно.

Примечание: В условии задания, скорее всего, ошибка. Если бы нормальный вектор плоскости XOZ был \( (0, 1, 0) \), то прямое скалярное произведение было бы 1, что означает, что прямая не параллельна плоскости. Если бы плоскость была XOY (нормальный вектор (0,0,1)), то скалярное произведение было бы 0, что означало бы параллельность.

Для плоскости XOZ, уравнение \( y = 0 \) и нормальный вектор \( \boldsymbol{n}_{XOZ} = (0, 1, 0) \). Направляющий вектор прямой \( \boldsymbol{l} = (0, 1, 0) \). Скалярное произведение \( \boldsymbol{l} \boldsymbol{ \times } \boldsymbol{n}_{XOZ} = 0 \boldsymbol{ \times } 0 + 1 \boldsymbol{ \times } 1 + 0 \boldsymbol{ \times } 0 = 1 \). Так как скалярное произведение не равно 0, прямая НЕ параллельна плоскости XOZ.

Для плоскости XOY, уравнение \( z = 0 \) и нормальный вектор \( \boldsymbol{n}_{XOY} = (0, 0, 1) \). Направляющий вектор прямой \( \boldsymbol{l} = (0, 1, 0) \). Скалярное произведение \( \boldsymbol{l} \boldsymbol{ \times } \boldsymbol{n}_{XOY} = 0 \boldsymbol{ \times } 0 + 1 \boldsymbol{ \times } 0 + 0 \boldsymbol{ \times } 1 = 0 \). Так как скалярное произведение равно 0, прямая ПАРАЛЛЕЛЬНА плоскости XOY (или лежит в ней).

Таким образом, утверждение А неверно (прямая параллельна XOY, а не перпендикулярна), и утверждение В неверно (прямая не параллельна XOZ).

Ответ: А – нет, В – нет.