Верны ли утверждения? А) Уравнение x² – x – 6 = 0 имеет два корня: x1 = 3 и x2 = -2. В) Уравнение x² + log₂(x³ + x – 1) = x + 6 + log₂(x³ + x – 1) имеет единственный корень x₁ = 3. Подберите правильный ответ.

Анализ утверждений:

Утверждение А:

Дано квадратное уравнение: $$x^2 - x - 6 = 0$$.

Чтобы проверить, верны ли корни, подставим их в уравнение:

• Для $$x_1 = 3$$: $$3^2 - 3 - 6 = 9 - 3 - 6 = 6 - 6 = 0$$. Утверждение верно.
• Для $$x_2 = -2$$: $$(-2)^2 - (-2) - 6 = 4 + 2 - 6 = 6 - 6 = 0$$. Утверждение верно.

Таким образом, утверждение А верно.

Утверждение В:

Дано уравнение: $$x^2 + ext{log}_2(x^3 + x - 1) = x + 6 + ext{log}_2(x^3 + x - 1)$$.

Для того чтобы логарифмы существовали, аргумент логарифма должен быть положительным: $$x^3 + x - 1 > 0$$.

Мы можем вычесть $$ ext{log}_2(x^3 + x - 1)$$ из обеих частей уравнения, если оно определено:

$$x^2 = x + 6$$

Приведем к стандартному квадратному виду:

$$x^2 - x - 6 = 0$$

Это то же самое уравнение, что и в утверждении А. Корни этого уравнения $$x_1 = 3$$ и $$x_2 = -2$$.

Теперь проверим, удовлетворяют ли эти корни условию $$x^3 + x - 1 > 0$$:

• Для $$x_1 = 3$$: $$3^3 + 3 - 1 = 27 + 3 - 1 = 29$$. Так как $$29 > 0$$, корень $$x_1 = 3$$ подходит.
• Для $$x_2 = -2$$: $$(-2)^3 + (-2) - 1 = -8 - 2 - 1 = -11$$. Так как $$-11 gtr 0$$, корень $$x_2 = -2$$ не подходит (логарифм не определен).

Следовательно, у данного уравнения только один корень $$x = 3$$. Утверждение В верно.

Выбор ответа:

Оба утверждения (А и В) верны.

Ответ: А - да, В - да