Вероятность и статистика. 1. Сколькими способами можно расставить 9 книг на полке? 2. Сколько различных четырёхзначных чисел можно записать, используя цифры 0, 2, 4, 6, 8 (без повторения)? 3. Сколькими способами из 23 человек можно выбрать двух дежурных? 4. Сколькими способами из 15 членов правления кооператива можно выбрать председателя, казначея и секретаря? 5. Сколькими способами из 15 человек можно выбрать 12 для участия в соревновании? 6. В чемпионате по хоккею участвуют 8 команд. Сколько существует различных возможностей занять командам первые три места? 7. Раскройте скобки в выражении (3a−b)⁷.

Расставить 9 разных книг можно 9! = 362880 способами.

Первой не может стоять 0: для первой цифры есть 4 выбора. Для следующих цифр остаются соответственно 4, 3 и 2 выбора.

4 · 4 · 3 · 2 = 96.

Порядок выбора дежурных не важен, поэтому используем сочетания: C(23,2) = 23 · 22 / 2 = 253.

Должности различаются, поэтому порядок назначения важен: 15 · 14 · 13 = 2730.

Выбираем 12 человек из 15: C(15,12) = C(15,3) = 15 · 14 · 13 / (3 · 2 · 1) = 455.

Первые три места различаются, поэтому число способов равно 8 · 7 · 6 = 336.

По биному Ньютона:

(3a−b)⁷ = (3a)⁷ − 7(3a)⁶b + 21(3a)⁵b² − 35(3a)⁴b³ + 35(3a)³b⁴ − 21(3a)²b⁵ + 7(3a)b⁶ − b⁷.

Ответ: 2187a⁷ − 5103a⁶b + 5103a⁵b² − 2835a⁴b³ + 945a³b⁴ − 189a²b⁵ + 21ab⁶ − b⁷.