Вероятность поражения цели равна 0,8. Определи вероятность, что при 11 попытках цель будет поражена не менее 3, но не более 5 раз. (Промежуточные вычисления вероятности к успехов, округляй до тысячных.)

Решение:

Вероятность k успехов в n испытаниях Бернулли вычисляется по формуле:

\[ P(X = k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} \]

где:

• \( C_n^k \) - число сочетаний из n по k
• \( p \) - вероятность успеха в одном испытании (0.8)
• \( n \) - количество испытаний (11)
• \( k \) - количество успехов

Нам нужно найти вероятность того, что цель будет поражена не менее 3, но не более 5 раз, то есть P(3 ≤ X ≤ 5). Это означает, что нужно сложить вероятности для 3, 4 и 5 успехов:

\[ P(3 \le X \le 5) = P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5) \]

Вычислим каждую из этих вероятностей:

1. P(X = 3):
\[ P(X = 3) = C_{11}^3 \cdot (0.8)^3 \cdot (0.2)^8 \] \[ C_{11}^3 = \frac{11!}{3!(11-3)!} = \frac{11 \cdot 10 \cdot 9}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 165 \] \[ P(X = 3) = 165 \cdot 0.512 \cdot 0.00000256 = 0.000215 \]
2. P(X = 4):
\[ P(X = 4) = C_{11}^4 \cdot (0.8)^4 \cdot (0.2)^7 \] \[ C_{11}^4 = \frac{11!}{4!(11-4)!} = \frac{11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 330 \] \[ P(X = 4) = 330 \cdot 0.4096 \cdot 0.0000128 = 0.00173 \]
3. P(X = 5):
\[ P(X = 5) = C_{11}^5 \cdot (0.8)^5 \cdot (0.2)^6 \] \[ C_{11}^5 = \frac{11!}{5!(11-5)!} = \frac{11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 462 \] \[ P(X = 5) = 462 \cdot 0.32768 \cdot 0.000064 = 0.00967 \]

Теперь сложим эти вероятности:

\[ P(3 \le X \le 5) = 0.000215 + 0.00173 + 0.00967 = 0.011615 \approx 0.012 \]

Ответ: 0.012

Проверка за 10 секунд: Использовали формулу Бернулли для каждого случая (3, 4, 5 успехов) и сложили результаты.