Вершину B треугольника ABC соединили отрезками с точками на противоположной стороне. На рисунке отмечены четыре равных друг другу угла. Какие из следующих утверждений верны? 1) Отрезок BQ — биссектриса треугольника BMC. 2) Отрезок BM — биссектриса треугольника ABC. 3) Отрезок BN — биссектриса треугольника BMQ. 4) Отрезок BM — биссектриса треугольника ABN. 5) Отрезок BN — биссектриса треугольника ABC.

Обозначим каждый из четырёх равных углов при вершине B через α. Лучи BA, BM, BN, BQ и BC идут именно в этом порядке, поэтому соседние лучи образуют углы α.

1. Верно. В треугольнике BMC угол при B равен 3α. Луч BQ делит его на два угла по 1,5α? Угол между BM и BQ состоит из двух отмеченных углов, а между BQ и BC — из одного. Следовательно, BQ не является биссектрисой.
2. Неверно. Угол ABC равен 4α, а BM делит его на α и 3α.
3. Верно. Угол MBQ состоит из двух равных углов α; BN проходит между ними и делит угол пополам.
4. Верно. Угол ABN состоит из двух равных углов α; BM проходит между ними и делит угол пополам.
5. Верно. Угол ABC равен 4α, а BN делит его на две части по 2α.

Ответ: утверждения 3, 4 и 5.