Вершины четырехугольника имеют координаты P(1; 0), Q(2; 5/3), R(5; 2) и S(6; -1). Найти точку пересечения его диагоналей.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Найдем координаты точки пересечения диагоналей, используя формулу середины отрезка для диагонали PR.
   Координаты точки P: (1, 0). Координаты точки R: (5, 2).
   Формула середины отрезка: \( \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right) \)
2. Шаг 2: Подставим координаты точек P и R в формулу:
   \( x = \frac{1 + 5}{2} = \frac{6}{2} = 3 \)
   \( y = \frac{0 + 2}{2} = \frac{2}{2} = 1 \)
3. Шаг 3: Проверим, лежит ли точка пересечения на диагонали QS.
   Координаты точки Q: (2, 5/3). Координаты точки S: (6, -1).
   Середина диагонали QS:
   \( x = \frac{2 + 6}{2} = \frac{8}{2} = 4 \)
   \( y = \frac{\frac{5}{3} + (-1)}{2} = \frac{\frac{5}{3} - \frac{3}{3}}{2} = \frac{\frac{2}{3}}{2} = \frac{2}{3 \cdot 2} = \frac{1}{3} \)
   Полученные координаты (4, 1/3) не совпадают с координатами (3, 1). Следовательно, данный четырехугольник не является параллелограммом, и точка пересечения диагоналей не является серединой обеих диагоналей. В таком случае, необходимо найти уравнения прямых, содержащих диагонали, и решить систему уравнений.
4. Шаг 4: Найдем уравнение прямой PR.
   Угловой коэффициент \( k_{PR} = \frac{2 - 0}{5 - 1} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \).
   Уравнение прямой: \( y - 0 = \frac{1}{2}(x - 1) \) \( \Rightarrow y = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2} \)
5. Шаг 5: Найдем уравнение прямой QS.
   Угловой коэффициент \( k_{QS} = \frac{-1 - \frac{5}{3}}{6 - 2} = \frac{-\frac{3}{3} - \frac{5}{3}}{4} = \frac{-\frac{8}{3}}{4} = -\frac{8}{3 \cdot 4} = -\frac{2}{3} \).
   Уравнение прямой: \( y - (-1) = -\frac{2}{3}(x - 6) \) \( \Rightarrow y + 1 = -\frac{2}{3}x + 4 \) \( \Rightarrow y = -\frac{2}{3}x + 3 \)
6. Шаг 6: Решим систему уравнений для нахождения точки пересечения:
   \( y = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2} \)
   \( y = -\frac{2}{3}x + 3 \)
   Приравняем правые части:
   \( \frac{1}{2}x - \frac{1}{2} = -\frac{2}{3}x + 3 \)
   Умножим обе части на 6 для избавления от дробей:
   \( 3x - 3 = -4x + 18 \)
   \( 3x + 4x = 18 + 3 \)
   \( 7x = 21 \)
   \( x = 3 \)
   Найдем y, подставив x=3 в любое уравнение:
   \( y = \frac{1}{2}(3) - \frac{1}{2} = \frac{3}{2} - \frac{1}{2} = \frac{2}{2} = 1 \)

Ответ: Точка пересечения диагоналей имеет координаты (3; 1).