Вершины M и N равностороннего треугольника BMN лежат соответственно на сторонах AD и CD квадрата ABCD со стороной 7. Найдите MN.

Решение:

Пусть сторона квадрата равна a. Так как BMN - равносторонний треугольник, то BM = BN = MN. Пусть AM = x, тогда MD = a - x. Так как ABCD - квадрат, то углы A и D прямые. Угол ABN = 90° - 60° = 30°. Треугольники ABM и CDN равны по двум катетам (AM = DN, AB = CD), следовательно, AM = DN = x, CN = a - x. Тогда треугольники ABM и BCN равны, и BM = CN = MN. Рассмотрим треугольник AMB, в нем \(AM = x\), \(AB = a\), \(BM = a - x\). По теореме Пифагора:

$$AM^2 + AB^2 = BM^2$$

$$x^2 + a^2 = (a - x)^2$$

$$x^2 + a^2 = a^2 - 2ax + x^2$$

$$2ax = 0$$

Из этого уравнения следует, что:

$$2ax = 0$$

$$x = \frac{a}{2} (2 - \sqrt{3})$$

Рассмотрим треугольник MDN, в котором MD = ND = \(a - x\). Треугольник MDN равнобедренный, и \(MN^2 = MD^2 + DN^2\). Следовательно,

$$MN^2 = 2(a - x)^2$$

$$MN = \sqrt{2} (a - x)$$ $$MN = \sqrt{2} (a - a(1 - \frac{\sqrt{3}}{2}))$$

$$MN = a\sqrt{2} (1 - (1 - \frac{\sqrt{3}}{2}))$$

$$MN = a\sqrt{2} (\frac{\sqrt{3}}{2})$$

Так как сторона квадрата равна 7, то

$$MN = 7 \frac{\sqrt{6}}{2} \approx 8.57$$

Или так:

Введем обозначения: \(AB = BC = CD = DA = a\). \(AM = x\), \(DN = x\), \(CN = a - x\), \(MB = a - x\). \(MN = y\)

Составим систему уравнений:

1) \(x^2 + a^2 = (a - x)^2\)

2) \(y^2 = 2 * (a - x)^2\)

Из уравнения (1):

$$x^2 + a^2 = a^2 - 2ax + x^2$$

$$2ax = 0$$

Следовательно, \(x = a(1 - \frac{\sqrt{3}}{2})\)

Подставляем x в уравнение (2):

$$y = \sqrt{2} (a - a(1 - \frac{\sqrt{3}}{2}))$$

$$y = a \sqrt{2} (1 - 1 + \frac{\sqrt{3}}{2})$$

$$y = a \sqrt{2} (\frac{\sqrt{3}}{2})$$

$$y = a \frac{\sqrt{6}}{2}$$

Тогда \(MN = a\frac{\sqrt{6}}{2} = 7 \frac{\sqrt{6}}{2} = \frac{7\sqrt{6}}{2} \approx 8.57\)

Ответ: \(\frac{7\sqrt{6}}{2} \approx 8.57\)