Вершины треугольника ABC делят окружность в отношении 1:3:5. Найдите углы этого треугольника.

Решение:

Пусть дуги, на которые делят вершины треугольника окружность, равны \( 1x \), \( 3x \) и \( 5x \).

Полная окружность составляет \( 360^{\circ} \).

Сумма дуг равна \( 360^{\circ} \):

\( 1x + 3x + 5x = 360^{\circ} \)

\( 9x = 360^{\circ} \)

\( x = \frac{360^{\circ}}{9} = 40^{\circ} \).

Тогда дуги равны:

Первая дуга: \( 1x = 40^{\circ} \).

Вторая дуга: \( 3x = 3 \cdot 40^{\circ} = 120^{\circ} \).

Третья дуга: \( 5x = 5 \cdot 40^{\circ} = 200^{\circ} \).

Углы треугольника равны половине дуг, на которые они опираются:

Угол \( A \) (опирается на дугу \( 120^{\circ} \)): \( \angle A = \frac{120^{\circ}}{2} = 60^{\circ} \).

Угол \( B \) (опирается на дугу \( 200^{\circ} \)): \( \angle B = \frac{200^{\circ}}{2} = 100^{\circ} \).

Угол \( C \) (опирается на дугу \( 40^{\circ} \)): \( \angle C = \frac{40^{\circ}}{2} = 20^{\circ} \).

Проверка: \( 60^{\circ} + 100^{\circ} + 20^{\circ} = 180^{\circ} \).

Ответ: Углы треугольника равны \( 60^{\circ}, 100^{\circ}, 20^{\circ} \).