2. 1) Вершины треугольника АВС делят О на три дуги: САВ, ВС и АС, градусные меры которых относятся как 2:9:7. Найдите углы АОС, ВОС А АСВ. 2) Хорды МК и РТ пересекаются в точке А. Найдите дли-ну АМ, если АР=2 дм, АТ-24 дм, АМ:KA=3:4. 3. 1) Точки А, В и С лежат на окружности с центром О, ∠ABC=50°, AB: (CB=5:8. Найдите эти дуги и ∠AOC.

1) Нахождение углов АОС, ВОС и АСВ

Отношение дуг: \( \cup AB : \cup BC : \cup AC = 2:9:7 \). Сумма дуг, образующих окружность, равна 360°.

1. Найдем коэффициент пропорциональности:

• Найдем градусные меры дуг:

• Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается:

• \( \angle AOC = \cup AC = 140° \)
• \( \angle BOC = \cup BC = 180° \)
• \( \angle AOB = \cup AB = 40° \)

• Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается:

2) Нахождение длины AM

Хорды MK и PT пересекаются в точке A. Дано: AP = 2 дм, AT = 24 дм, AM:KA = 3:4. Нужно найти AM.

• При пересечении двух хорд произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды:

• Пусть AM = 3x, тогда AK = 4x:

• Найдем AM:

3) Нахождение дуг AB, CB и угла AOC

Точки A, B и C лежат на окружности с центром O, \( \angle ABC = 50° \), \( \cup AB : \cup CB = 5:8 \). Нужно найти эти дуги и \( \angle AOC \).

• Вписанный угол \( \angle ABC = 50° \) опирается на дугу AC. Следовательно, дуга AC равна удвоенному углу ABC:

• Пусть \( \cup AB = 5x \), тогда \( \cup CB = 8x \).

• Сумма дуг AB, CB и AC равна 360°:

• Найдем градусные меры дуг AB и CB:

• Центральный угол AOC равен градусной мере дуги AC, на которую он опирается:

Ответ: 1) \(\angle AOC = 140°\), \(\angle BOC = 180°\), \(\angle ACB = 20°\); 2) AM = 6 дм; 3) \(\cup AB = 100°\), \(\cup CB = 160°\), \(\angle AOC = 100°\).