Вершины треугольника АВС лежат на окружности, угол А = 70°, угол С = 30°. Чему равна градусная мера наименьшей из дуг АС?

Решение:

Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается. Таким образом, градусная мера дуги, на которую опирается угол, равна удвоенной величине угла.

1. Найдем величину угла B в треугольнике ABC. Сумма углов треугольника равна 180°.
   \( \angle B = 180° - \angle A - \angle C = 180° - 70° - 30° = 80° \)
2. Дуга AC, на которую опирается вписанный угол B, равна:
   \( \text{arc} AC = 2 \cdot \angle B = 2 \cdot 80° = 160° \)
3. Угол C = 30° опирается на дугу AB. Градусная мера дуги AB равна:
   \( \text{arc} AB = 2 \cdot \angle C = 2 \cdot 30° = 60° \)
4. Угол A = 70° опирается на дугу BC. Градусная мера дуги BC равна:
   \( \text{arc} BC = 2 \cdot \angle A = 2 \cdot 70° = 140° \)
5. Сумма всех дуг окружности равна 360°: \( 160° + 60° + 140° = 360° \).
6. Наименьшая из дуг AC — это дуга AB, которая равна 60°.

Ответ: 60°.