Решение задачи 376

Дано: R = 13 см, AB = 6 см, BC = 8 см, AC = 10 см.

Заметим, что треугольник ABC является прямоугольным, так как $$6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2$$.

Следовательно, AC - гипотенуза, а AB и BC - катеты.

Центр описанной окружности около прямоугольного треугольника лежит на середине гипотенузы. Пусть O' - центр описанной окружности, тогда AO' = O'C = R' = AC / 2 = 10 / 2 = 5 см.

Пусть O - центр сферы. Расстояние от центра сферы до плоскости треугольника обозначим как OO'. Тогда OO' является перпендикуляром к плоскости ABC. Рассмотрим прямоугольный треугольник AOO'. По теореме Пифагора:

$$OO' = \sqrt{R^2 - R'^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12 \text{ см}$$

Ответ: Расстояние от центра сферы до плоскости треугольника равно 12 см.