Вершины треугольника АВС принадлежат окружности, радиус которой равен 12,5 см, АВ = 20 см, ∠B + ∠C = 90°. Найдите площадь треугольника АВС (в см²).

Привет! Давай разберемся с этой задачей по геометрии. Смотри, нам дано, что вершины треугольника ABC лежат на окружности, радиус которой равен 12,5 см. Также известно, что сторона AB равна 20 см, а сумма углов B и C равна 90°.

Что мы знаем:

• Треугольник ABC вписан в окружность.
• Радиус окружности R = 12,5 см.
• Сторона AB = 20 см.
• \[ \angle B + \angle C = 90^\circ \]

Шаг 1: Найдем угол A

Сумма углов в любом треугольнике равна 180°. Значит, для треугольника ABC:

\[ \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ \]

Мы знаем, что \[ \angle B + \angle C = 90^\circ \]

Подставляем это в уравнение:

\[ \angle A + 90^\circ = 180^\circ \]

Отсюда получаем:

\[ \angle A = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ \]

Получается, что треугольник ABC — прямоугольный, с прямым углом в вершине A.

Шаг 2: Связь стороны и радиуса описанной окружности

В прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда является диаметром описанной окружности. У нас гипотенуза — это сторона BC (так как угол A прямой).

Диаметр окружности равен двум радиусам:

\[ D = 2R \]

Подставляем значение радиуса:

\[ D = 2 \times 12,5 \text{ см} = 25 \text{ см} \]

Значит, гипотенуза BC = 25 см.

Шаг 3: Найдем катеты AB и AC

Мы знаем, что AB = 20 см и BC = 25 см. Используем теорему Пифагора для прямоугольного треугольника:

\[ AB^2 + AC^2 = BC^2 \]

Подставляем известные значения:

\[ 20^2 + AC^2 = 25^2 \]

\[ 400 + AC^2 = 625 \]

Вычисляем AC²:

\[ AC^2 = 625 - 400 \]

\[ AC^2 = 225 \]

Находим длину катета AC:

\[ AC = \sqrt{225} = 15 \text{ см} \]

Шаг 4: Найдем площадь треугольника ABC

Площадь прямоугольного треугольника вычисляется как половина произведения его катетов:

\[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \times AB \times AC \]

Подставляем найденные значения:

\[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \times 20 \text{ см} \times 15 \text{ см} \]

\[ S_{ABC} = 10 \text{ см} \times 15 \text{ см} \]

\[ S_{ABC} = 150 \text{ см}^2 \]

Ответ: 150