Вершины треугольника делят описанную около него окружность на три дуги, длины которых относятся как 3:4:11. Найдите радиус окружности, если меньшая из сторон равна 14.

Решение:

Пусть длины дуг равны 3x, 4x и 11x. Полная длина окружности соответствует 360°. Соответственно, углы, стягиваемые этими дугами, относятся как 3:4:11.

Сумма частей = 3 + 4 + 11 = 18.

Угол, соответствующий меньшей дуге (3 части), равен: \(\frac{3}{18}\) · 360° = \(\frac{1}{6}\) · 360° = 60°.

Меньшая сторона треугольника (равная 14) опирается на меньшую дугу, которая соответствует центральному углу 60°.

По теореме синусов, отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно диаметру описанной окружности (2R):

\(\frac{a}{\sin A}\) = 2R Где a — сторона, противолежащая углу A. В нашем случае, меньшая сторона (14) опирается на дугу, соответствующую центральному углу 60°. Угол треугольника, противолежащий этой стороне, будет равен половине центрального угла, то есть 60° / 2 = 30°.

\(\frac{14}{\sin 30°}\) = 2R \(\frac{14}{1/2}\) = 2R 28 = 2R R = 14

Ответ: 14