Вершины треугольника делят описанную около него окружность на три дуги, длины которых относятся как 3:4:1. Найдите радиус окружности, если меньшая из сторон равна 14.

Для решения задачи введем обозначения. Пусть длины сторон треугольника пропорциональны длинам дуг, то есть одна сторона — a, другая — b, третья — c, и их длины относятся как 3:4:1. Пусть коэффициент пропорциональности равен k, тогда a = 3k, b = 4k, c = k. Из условия задачи известно, что меньшая сторона равна 14, то есть c = 14, следовательно, k = 14. Длины сторон тогда: a = 3k = 42, b = 4k = 56, c = k = 14. Площадь треугольника вычислим по формуле Герона: полупериметр треугольника P = (a + b + c)/2 = (42 + 56 + 14)/2 = 56. Тогда площадь треугольника S = sqrt(P*(P-a)*(P-b)*(P-c)) = sqrt(56*(56-42)*(56-56)*(56-14)) = sqrt(56*14*0*42) = 0. Радиус описанной окружности R вычисляется по формуле R = (a*b*c)/(4*S). Подставляя значения, получаем R = (42*56*14)/(4*0). Таким образом, радиус определяет только описания задачи.