Весёлый турист отправился на слёт, предполагая каждый день проходить треть всего пути, чтобы за 3 прибыть на место. В первый день он прошёл треть трети. Во второй день, устав, он прошёл не треть пути, а треть остатка. И в третий день он прошёл треть нового остатка. В результате ему осталось пройти ещё 32 км. Сколько километров от дома до места слёта?

Решение:

Обозначим весь путь за \( S \) км.

1. Первый день: Турист прошёл треть трети пути, то есть \( \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} S = \frac{1}{9} S \).
2. Остаток после первого дня: \( S - \frac{1}{9} S = \frac{8}{9} S \).
3. Второй день: Турист прошёл треть остатка, то есть \( \frac{1}{3} \cdot \frac{8}{9} S = \frac{8}{27} S \).
4. Остаток после второго дня: \( \frac{8}{9} S - \frac{8}{27} S = \frac{24}{27} S - \frac{8}{27} S = \frac{16}{27} S \).
5. Третий день: Турист прошёл треть нового остатка, то есть \( \frac{1}{3} \cdot \frac{16}{27} S = \frac{16}{81} S \).
6. Остаток после третьего дня: \( \frac{16}{27} S - \frac{16}{81} S = \frac{48}{81} S - \frac{16}{81} S = \frac{32}{81} S \).
7. По условию, остаток пути составляет 32 км. Значит, \( \frac{32}{81} S = 32 \).
8. Найдем весь путь \( S \): \( S = 32 \cdot \frac{81}{32} = 81 \) км.

Ответ: 81 км.