2в 1. Функция задана формулой f(x) = x² -х² - 2х. Найдите: 2 3 1) f(-6) и ƒ (2); 2) нули функции. 2. Найдите область определения функции f(x) = x-4 x²-x-6 3. 4. Постройте график функции f(x) = x² - 4x + 3. Используя график, 7 Найдите область определения функции f(x) = √x−2+x2-16

1. Функция задана формулой f(x) = \(\frac{1}{3}x^2 - 2x\). Найдите:

1) f(-6) и f(2)

Сначала найдем f(-6), подставив -6 в функцию:

\[f(-6) = \frac{1}{3}(-6)^2 - 2(-6) = \frac{1}{3}(36) + 12 = 12 + 12 = 24\]

Теперь найдем f(2), подставив 2 в функцию:

\[f(2) = \frac{1}{3}(2)^2 - 2(2) = \frac{1}{3}(4) - 4 = \frac{4}{3} - 4 = \frac{4}{3} - \frac{12}{3} = -\frac{8}{3}\]

Ответ: f(-6) = 24, f(2) = -\(\frac{8}{3}\)

2) Нули функции

Чтобы найти нули функции, приравняем f(x) к нулю:

\[\frac{1}{3}x^2 - 2x = 0\]

Вынесем x за скобки:

\[x(\frac{1}{3}x - 2) = 0\]

Получаем два возможных решения:

\[x = 0\]

или

\[\frac{1}{3}x - 2 = 0\] \[\frac{1}{3}x = 2\] \[x = 6\]

Ответ: Нули функции: x = 0, x = 6

2. Найдите область определения функции f(x) = \(\frac{x-4}{x^2-x-6}\)

Область определения функции - это все значения x, при которых функция определена. В данном случае, знаменатель не должен быть равен нулю:

\[x^2 - x - 6
eq 0\]

Решим квадратное уравнение, чтобы найти значения x, при которых знаменатель равен нулю:

\[x^2 - x - 6 = 0\]

Разложим на множители:

\[(x - 3)(x + 2) = 0\]

Значит, x = 3 или x = -2. Таким образом, область определения - все числа, кроме 3 и -2.

Ответ: Область определения: \(x
eq 3, x
eq -2\)

3. Постройте график функции f(x) = x² - 4x + 3. Используя график,

График функции f(x) = x² - 4x + 3 - это парабола. Чтобы построить график, найдем вершину и нули функции.

Вершина параболы:

\[x_v = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-4)}{2(1)} = \frac{4}{2} = 2\] \[f(2) = (2)^2 - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1\]

Вершина параболы: (2, -1)

Нули функции:

\[x^2 - 4x + 3 = 0\]

Разложим на множители:

\[(x - 1)(x - 3) = 0\]

Значит, x = 1 или x = 3

Нули функции: x = 1, x = 3

Построим график параболы с вершиной (2, -1) и нулями x = 1, x = 3. (Используя график)

4. Найдите область определения функции f(x) = \(\sqrt{x-2 + \frac{7}{x^2 - 16}}\)

Область определения функции определяется следующими условиями:

1. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
\[x - 2 + \frac{7}{x^2 - 16} \geq 0\]
2. Знаменатель не должен быть равен нулю:
\[x^2 - 16
eq 0\] \[x
eq \pm 4\]

Решим неравенство:

\[x - 2 + \frac{7}{x^2 - 16} \geq 0\] \[\frac{(x - 2)(x^2 - 16) + 7}{x^2 - 16} \geq 0\] \[\frac{x^3 - 2x^2 - 16x + 32 + 7}{x^2 - 16} \geq 0\] \[\frac{x^3 - 2x^2 - 16x + 39}{x^2 - 16} \geq 0\]

Разложим числитель на множители. Заметим, что x = 3 является корнем числителя:

\[3^3 - 2(3)^2 - 16(3) + 39 = 27 - 18 - 48 + 39 = 0\]

Значит, можно разделить числитель на (x - 3):

\[\frac{(x - 3)(x^2 + x - 13)}{x^2 - 16} \geq 0\]

Найдем корни квадратного уравнения \(x^2 + x - 13 = 0\):

\[x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-13)}}{2(1)} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 52}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{53}}{2}\]

Значит, корни: \(x_1 = \frac{-1 - \sqrt{53}}{2} \approx -4.14, x_2 = \frac{-1 + \sqrt{53}}{2} \approx 3.14\)

Разложим знаменатель на множители:

\[x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4)\]

Тогда неравенство принимает вид:

\[\frac{(x - 3)(x - \frac{-1 + \sqrt{53}}{2})(x - \frac{-1 - \sqrt{53}}{2})}{(x - 4)(x + 4)} \geq 0\]

Теперь нужно решить это неравенство методом интервалов. Отметим на числовой прямой точки -4.14, -4, 3, 3.14, 4.

Ответ: Область определения: \([-\infty; \frac{-1-\sqrt{53}}{2}] \cup (-4; 3] \cup [\frac{-1+\sqrt{53}}{2}; 4)\)

Ты молодец! У тебя всё получится!